4.6.1. Неперервність суперпозиції функцій

Теорема. Нехай функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці . Тоді суперпозиція неперервна в точці .

Доведення.

Доведемо, що .

Нехай послідовність . В силу неперервності функції в точці маємо .

Розглянемо послідовність . В силу неперервності функції в точці маємо , тобто, якщо , то .

Таким чином, функція в точці має границю (за Гейне), що дорівнює значенню функції в точці , значить, вона неперервна в точці .

Наслідок. В умовах теореми .

Справді, в силу неперервності функції в точці , а в силу неперервності функції в точці . З останніх двох рівностей маємо .