1.4. Початкові та центральні моменти

Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові та центральні моменти.

Початковим моментом -го порядку випадкової величини X називають математичне сподівання величини :

.

Для ДВВ: ,

для НВВ: .

Центральним моментом -го порядкувипадкової величини X називають математичне сподівання від :

.

1.5. Асиметрія і ексцес

Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо , то випадкова величинаX симетрично розподілена відносно М(Х). Оскільки має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — коефіцієнт асиметрії:

.

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності . Ексцес обчислюється за формулою

.

2. Біноміальний закон розподілу

Цей закон має вигляд

, (5.7)

і використовується у схемі Бернуллі, тобто у випадку незалежних повторних випробувань, в кожному з яких деяка подія з'являється з ймовірністюр.

Для біноміального розподілу: ,.

2. Закон розподілу Пуассона

ДВВ X приймає злічену множину значень (.) з ймовірностями

. (5.8)

Цей розподіл використовують в задачах статистичного контролю якості, в теорії надійності, теорії масового обслуговування, для обчислення: кількості вимог на виплату страхових сум за рік, кількості дефектів однакових виробів.

Для розподілу Пуассона: ,.

2. Рівномірний розподіл

Означення 1. НВВ X розподілена рівномірно на проміжку , якщо усі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність її ймовірностей на цьому проміжку стала, тобто

(5.9)

Величина сталої С визначається умовою нормування

Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки округлення різноманітних розрахунків.

Числовими характеристиками НВВ X, що розподілена за рівномірним законом, будуть

, .

2. Експоненціальний розподіл

Означення 2. Випадкову величину X називають розподіленою за експоненціальним законом, якщо щільність її ймовірностей має вигляд

(5.10)

де > 0 - параметр.

Експоненціальному розподілу задовольняють: час телефонної розмови, час ремонту техніки, час безвідмовної роботи комп'ютера. Числовими характеристиками експоненціального розподілу будуть

, .

2. Нормальний розподіл

Означення 3. Випадкову величину X називають розподіленою нормально, якщо щільність її ймовірностей має вигляд

. (5.11)

Графік цієї функції називають нормальною кривою або кривою Гауса.

Для цього розподілу:

, .

Отже, математичне сподівання нормального розподілу дорівнює параметру а цього розподілу, а середнє квадратичне відхилення дорівнює параметру .

Зауваження. Якщо випадкова величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами а та , то випадкова величинабуде розподілена занормованим нормальним законом і ,.