Границя та неперервність функцій кількох змінних

Означення. Число А називається границею функцій z = f (x, y) при якщо для будь-якого існує число , таке що в разі виконання нерівності , справджується нерівність .

Позначають: , або .

Наслідок.

Теорема 1.1. Якщо функція f (x, y) має границю при , то така границя тільки одна.

Теорема 1.2. Якщо функція z = f (x, y) має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 1.3. Якщо , і в деякому виколотому околі точки виконується нерівність то .

Наслідок. Якщо у деякому околі точки (x₀, у₀) і існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).

Теорема 1.4. Якщо , то виконуються нерівності:

1)

2)

3)

Означення. Якщо , то функція називається нескінченно малою при .

Приклад. Обчислити .