Метод посібник Вища матем
Лінійні рівняння
Означення. Рівняння виду y + P(x) · y = Q(x), де Р(х), Q(x) - функції залежні від х (або сталі) називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Якщо Q(x) = 0, то рівняння має вигляд y + P(x) · y = 0 і називається лінійним однорідним рівнянням. Якщо Q(x) 0, то воно називається лінійним неоднорідним.
Для розв’язування лінійних рівнянь застосовують слідуючий алгоритм:
1. Підстановка y = U · V, де U = U(x), V = V(x).
у = (U · V) = U · V + U · V ;
Підставити значення у і у в рівняння. Одержимо:
U · V + U · V + P(x) · U · V = Q(x)
Згрупувати доданки, що містять U = U(x) (або V = V(x)) і винести за дужки U (або V )
U · V + U ·(V + P(x) · V) = Q(x);
Вираз в дужках прирівняти до нуля:·( V + P(x) · V) = 0. Одержане диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлювальними змінними, розв’язавши його знайдемо V(x).
Підставити V(x) в частину рівняння, що залишилася. Одержимо рівняння з відокремлювальними змінними. Необхідно розв’язати його і знайти U(x) .
7. Підставити U(x) і V(x) в заміну. Одержимо загальний розв’язок диференціального рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння y + y · tg x = cos2 x.
Содержание
- Затверджено
- Навчально-методичний посібник
- 5.03050801 „Фінанси і кредит”, 5.03050401 „Економіка підприємства”
- Тема 1.1. Вступ. Множини та операції над ними
- Тема 1.2. Комбінаторика. Біном Ньютона
- 1.1. Вступ. Множини та операції над ними Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної, показникової і навпаки
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- 1.2. Комбіноторика. Біном Ньютона Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Основні принципи комбінаторики
- Розв’язування комбінаторних задач
- Тема 2.1. Матриці та визначники
- Тема 2.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- 2.1. Матриці та визначники Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Розв’язування матричних рівнянь
- Розв’язування матричних рівнянь:
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 3.1. Векторна алгебра
- Тема 3.2. Аналітична геометрія
- 3.1. Векторна алгебра Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Векторні та скалярні величини. Координати вектора. Дії над векторами в координатній формі. Скалярний добуток і його властивості. Кут між векторами
- Координати вектора
- Дії над векторами в координатній формі
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- 3.2. Аналітична геометрія Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Розв’язування задач на криві другого порядку
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 4.1. Задачі лінійного програмування
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 5.1. Функціональна залежність. Елементарні функції. Границя функції. Неперервність функції
- 5.1 Функціональна залежність. Елементарні функції. Границя функції. Неперервність функції Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Означення функціональної залежності. Функції в економіці. Способи задання функцій
- Розв’язання
- Способи задання функції:
- За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:
- Приклади для самостійного розв’язування
- Дослідження основних властивостей функції: області визначення, парності, непарності функції, періодичності за аналітичним заданням функції
- Розв’язання
- Елементарні функції
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 6.1. Похідна функції та диференціал
- Тема 6.2. Застосування диференціального числення до дослідження функцій та побудови їх графіків
- 6.1. Похідна функції та диференціал Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Задачі, які приводять до поняття похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Означення похідної функції. Основні правила диференціювання
- Властивості еластичності функції:
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Означення похідної функції
- Механічний зміст похідної:
- Основні правила диференціювання
- Доведення
- Похідні функцій заданих неявно та параметрично
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Диференціал, його геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень.
- Диференціали вищих порядків
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Зростання, спадання та екстремуми функцій, необхідні та достатні умови. Асимптоти до графіка функцій Зростання та спадання функції
- Розв’язання
- Доведення
- Екстремуми функції
- Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.
- Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Асимптоти до графіка функцій
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Дослідження функцій за допомогою похідної
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 7.1. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних
- 7.1. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Границя та неперервність функцій кількох змінних
- Розв’язання
- Доведення
- Неперервність функцій двох змінних
- Неперервність складеної (складної) функції двох змінних
- Приклади для самостійного розв’язування
- Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Застосування диференціального числення функцій багатьох змінних до наближених обчислень
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 8.1. Невизначений інтеграл
- Тема 8.2. Визначений інтеграл та його застосування
- Тема 8.3. Диференціальні рівняння першого порядку
- 8.1. Невизначений інтеграл Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Первісна функція. Невизначений інтеграл і його властивості. Таблиця невизначених інтегралів
- І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції
- Метод інтегрування частинами
- Приклади для самостійного розв’язування
- 8.2. Визначений інтеграл та його застосування Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Визначений інтеграл та його основні властивості
- Приклади для самостійного розв’язування
- Обчислення довжини дуги плоскої фігури, об’єму тіла обертання Площа фігури
- Розв’язання
- Область задана в полярних координатах
- Об’єм тіла, отриманого при обертанні кривої навколо координатної вісі
- Розв’язання
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку
- Розв’язання
- Рівняння з відокремлювальними змінними
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Лінійні рівняння
- Розв’язання
- Розв’язання
- Однорідні рівняння
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 9.1. Числові ряди, їх збіжність.
- Тема 9.2. Степеневі ряди.
- 9.1. Числові ряди, їх збіжність Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Ряд геометричної прогресії, його збіжність
- Розв’язання
- Радикальна ознака Коші. Використання ознак збіжності рядів з додатними членами
- Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- 9.2. Степеневі ряди Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Ряди Тейлора та Маклорена. Розклад елементарних функцій в ряд Маклорена.
- Приклади для самостійного розв’язування