Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку

Означення. Рівняння, що містить незалежну змінну, функцію, її похідні або диференціал називається диференціальним рівнянням.

F (x; у; у; у ... у⁽ⁿ⁾) = 0

Означення. Розв’язком диференціального рівняння називається функція y = f(x) при підстановці якої в рівняння воно перетворюється в правильну рівність.

Означення. Графік функції y = f(x) називається інтегральною кривою заданого рівняння.

Наприклад, функція y = sin x є розв’язком рівняння y  + y = 0.

Дійсно, якщо y = sin x, то y = cos x, а у = -sin x. Тоді - sin х + sin x = 0 і y = sin x – розв’язок рівняння.

Розв’язки диференціального рівняння можуть бути загальними і частинними.

Означення. Розв’язок диференціального рівняння в якому кількість сталих дорівнює порядку рівняння називається загальним розв’язком диференціального рівняння.

Означення. Розв’язок диференціального рівняння при конкретних значеннях сталих називається частинним розв’язком рівняння.

Для знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння з загального розв’язку задають початкову умову у вигляді у₀ =f(x₀), або точку (х₀; у₀). Початкову умову ще записують так .

Приклад. Знайти розв’язок рівняння у = sin x, який задовольняє початкову умову y() = 2.