Диференціал, його геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень.

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено до­рівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Вна­слідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різ­номанітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити дифе­ренціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну на­зивають лінеаризацією процесу.

Термін «диференціал» (від латинського слова differentia — різни­ця) ввів у математику Лейбніц.

Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х [а; b], тобто в цій точці має похідну

Тоді при ,

Звідки (1)

Перший з доданків лінійний відносно і при та f '(х) 0 є нескінченно малою одного порядку з , тому що: .

Другий доданок — нескінченно мала вищого порядку, ніж , тому що .

Цей доданок не є лінійним відносно , тобто містить в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.

Означення. Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно , частина приросту функції f(х) в цій точці:

dy = f ' (х) (2)

Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = , тобто диферен­ціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом . Тому формулу (2) можна записати так:

dy = f '(x)dx (3)

Формула дає змогу розглядати похідну як відношення диферен­ціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауважимо, що коли в точці х₀ похідна f ' (х₀) = 0, то перший доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною части­ною приросту . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за поданною вище формулою.

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 1.

Маємо PN = , QN = MN tg α= f '(x) = f '(x)dx = dy.

Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і до­рівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозумі­ло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень .

З’ясуємо механічний зміст диферен­ціала. Нехай матеріальна точка рухається за відомим законом S = f(t), де f(t) — диференційовна на деякому проміжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f '(t) при фіксованих значеннях t і — це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час , якби вона рухалась прямолінійно і рів­номірно із сталою швидкістю V = f ' (t). Зрозуміло, що фактичний шлях у випадку нерівномірного руху на від­міну від диференціала dS не є лінійною функцією часу і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + є майже рівномірним.

Властивості диференціала:

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, u і v — диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:

d (u ± v) = du ± dv;

Застосування диференціала до наближених обчислень функції

Теорема. Якщо у'_х = f '(x) ≠ 0, то , тобто і dy є еквівалентними нескінченно малими.

Доведення

Маємо

Як уже зазначалось, приріст функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: dy. Під­ставивши сюди значення і dy, дістанемо:

(4)

Ця формула визначає спосіб наближеного обчислення значення функції в точці.

Наприклад, нехай . Тоді: .

Якщо х = 1, то . Так,

Приклади для самостійного розв’язування

1. Знайти диференціали функцій:

а) ;

б) ;

в) .

2. Знайти диференціал dy функції у = х²:

а) при довільних значеннях х та х;

б) при х = 20, х = 0,1.

3. Обчислити наближено .

Похідні та диференціали вищих порядків

Похідні вищих порядків

Нехай функція y = f(x) задана на деякому проміжку (a, b) і нехай всередині цього проміжку вона має похідну y ' = f ' (x) = φ (x), яка є також функцією від х. Припустимо, що цю функцію можна диференціювати в точці х даного інтервалу.

Означення. Похідну функції φ (x) = f ' (x) в точці х називають другою похідною функції f(x), або похідною другого порядку в цій точці і позначають: у'', f '' (x), ,

Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку. Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знайти спочатку від цієї функції похідну першого порядку, а потім від цієї похідної знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти другу похідну, треба функцію продиференціювати два рази.

Похідну другої похідної, якщо вона існує, називають третьою похідною, і позначають:

у''', f ''' (x), ,

Взагалі, похідною n-ного порядку функції y = f(x) називають похідну від похідної (n-1)-го порядку.

Наприклад, функція у = 10х⁷ має похідні:

у' = 70х⁶, у'' = 420х⁵, у''' = 2100х⁴ і т.д.

Друга похідна має такий фізичний зміст. Якщо заданий закон прямолінійного руху тіла S = f (t), то - це швидкість у момент часу t.

Введемо відношення і визначимо його як середнє прискорення за проміжок часу . Позначимо . Границя середнього прискорення називається прискоренням у момент часу t. Отже,

Таким чином, друга похідна від шляху по часу – це дотичне прискорення точки в момент часу t. Друга похідна деякої функції, яка описує фізичний процес, визначає прискорення цього процесу, або швидкість зміни функції.