Розв’язання

1. Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх значеннях х за виключенням значення х = 1.

Звідси її область визначення (-∞ <х< 1; 1 < х < + ∞).

2. Точка х = 1 є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:

Як ліворуч, так і праворуч маємо нескінченний розрив. Точка х = 1 - точка розриву другого роду.

3. Вертикальні асимптоти. Пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.

4. Знаходимо точку перетину графіка функції з осями координат:

з віссю Ох: у = 0; ; 2х - 1 =0; х= ; ( ; 0);

з віссю Оу: х = 0;у = ; (0;-1).

5. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання функції, результати заносимо у табл. 1:

; у' = 0 -2х= 0 х = 0 — критична точка. При х →1 у' → ∞, але у цій точці функція не існує. Дослідимо критичну точку х = 0 на екстремум:

при х = -1 у'= <0(-);

при х = у' = >0(+).

Таблиця 1

Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з "-" на "+", через це в точці х = 0 функція має мінімум:

y_min = -1 / 1 = -1. У точці х = 1 функція не визначена. При 1< x <+∞, у'(х)<0 значить, функція на цьому інтервалі спадає.

6. Точки перегину та інтервали випуклості й вгнутості графіка знаходимо за допомогою другої похідної:

; у"= 0

2(2х+1) = 0 х = ; при х = 1 у" не існує, але в цій точці і сама функція.

Дослідимо точку х = :

при х = -1 <0(-);

при х = 0 у"= 2 / 1 = 2>0(+).

Друга похідна, походячи через х = , змінює знак, значить, точка кривої з цією абсцисою є точка перегину. Знайдемо її ординати:

Таким чином, точка ( ; ) - точка перегину.

У точці х = 1 функція не визначена. При 1< х < + ∞ у" >0, значить, графік функції вгнутий.

Результати дослідження заносимо у табл. 2

Таблиця 2

7. Рівняння похилої асимптоти знаходимо в вигляді у = kx + b:

Таким чином, похилою асимптотою є у = 0 (вісь Ох).

На основі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої побудови візьмемо додатково точки (рис. 3):

(-5;-0,3), ( ; 3), (2; 3),(3;1,3).

Рис.3