Дії над векторами в координатній формі
На площині | В просторі |
= (х1 ; у1); = (х2 ; у2) | = (х1 ; у1; z1); = (х2 ; у2; z2) |
Сума | |
+ = (х1 + х2; у1 + у2) | + = (х1 + х2; у1 + у2; z1 + z2) |
Різниця | |
- = (х1 - х2; у1 - у2) | - = (х1 - х2; у1 - у2; z1 - z2) |
Множення вектора на число | |
k ∙ = (k ∙ х1 ; k ∙ у1) | k ∙ = (k ∙ х1 ; k ∙ у1; k ∙ z1) |
Кут між векторами | |
|
|
Відстань між двома точками | |
|
|
Означення. Скалярним добутком двох векторів = (х1; у1; z1) та = (х2; у2; z2) називається число .
Теорема. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.
З цієї теореми випливає, що якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.
Властивості скалярного добутку:
;
;
;
Якщо , то ; якщо , то .
Виходячи з формул скалярного добутку векторів, кут між векторами можна обчислити наступним чином:
Приклад. Знайти модуль вектора 4 - 3 , якщо = (2; -3), =(-4; 1).
Розв’язання
Знайдемо координати векторів 4 і 3 :
4 = (8; -12); 3 =(-12; 3)
Знайдемо координати різниці векторів 4 - 3 :
4 - 3 = (8 - (-12); -12 - 3) = (20; -15)
Знайдемо абсолютну величну вектора 4 - 3 :
Відповідь. 4 - 3 =25.
Приклад. При якому значенні m вектори = (m; -4) і = (-2; 3) перпендикулярні.
Розв’язання
Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю:
x1x2 + y1y2 = 0
Підставимо координати векторів і
-2m + (-4) ∙ 3 = 0;
-2m - 12 = 0;
-2m = 12;
m = - 6.
Отже, вектори і перпендикулярні при m = - 6.
Відповідь. m = - 6.
Приклад. Дано точки B (-1; 3); С(8; -12).Знайти координати точок М і N, які ділять відрізок на три рівні частини.
Розв’язання
Точка N ділить відрізок ВС у відношенні
Тоді ;
Підставимо в ці формули координати точок В і С.
Маємо: ;
Отже, N (5;7).
Точка М ділить відрізок BN навпіл, тоді: ;
Підставимо координати ; .
Отже, М(2; -2).
Відповідь. М(2; -2).
Приклад. Довести, що трикутник з вершинами А(2; 2); В(-1; 6); С(-5; 3) - прямокутний.
Доведення
Знайдемо довжини сторін трикутника ABC:
= (-1 - 2; 6 - 2); ;
= (-5 - (-1); 3 - 6) = (-4; 3); ;
= (-5 - 2; 3 - 2) = (-7; 1); .
Використаємо теорему обернену теоремі Піфагора: якщо в трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату більшої сторони, то цей трикутник прямокутний.
Так як АВ2 + ВС2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50 = АС2, то трикутник ABC -прямокутний і величина кута ABC = 90°, що і треба було довести.
Відповідь. Трикутник з вершинами А(2; 2); В(-1; 6); С(-5; 3) - прямокутний.
Приклад. Знайти на вісі Оу точку М, яка знаходиться на відстані 5 одиниць від точки К(3;7).
- Затверджено
- Навчально-методичний посібник
- 5.03050801 „Фінанси і кредит”, 5.03050401 „Економіка підприємства”
- Тема 1.1. Вступ. Множини та операції над ними
- Тема 1.2. Комбінаторика. Біном Ньютона
- 1.1. Вступ. Множини та операції над ними Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної, показникової і навпаки
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- 1.2. Комбіноторика. Біном Ньютона Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Основні принципи комбінаторики
- Розв’язування комбінаторних задач
- Тема 2.1. Матриці та визначники
- Тема 2.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- 2.1. Матриці та визначники Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Розв’язування матричних рівнянь
- Розв’язування матричних рівнянь:
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 3.1. Векторна алгебра
- Тема 3.2. Аналітична геометрія
- 3.1. Векторна алгебра Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Векторні та скалярні величини. Координати вектора. Дії над векторами в координатній формі. Скалярний добуток і його властивості. Кут між векторами
- Координати вектора
- Дії над векторами в координатній формі
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- 3.2. Аналітична геометрія Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Розв’язування задач на криві другого порядку
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 4.1. Задачі лінійного програмування
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 5.1. Функціональна залежність. Елементарні функції. Границя функції. Неперервність функції
- 5.1 Функціональна залежність. Елементарні функції. Границя функції. Неперервність функції Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Означення функціональної залежності. Функції в економіці. Способи задання функцій
- Розв’язання
- Способи задання функції:
- За означенням, для взаємно обернених функцій маємо:
- Приклади для самостійного розв’язування
- Дослідження основних властивостей функції: області визначення, парності, непарності функції, періодичності за аналітичним заданням функції
- Розв’язання
- Елементарні функції
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 6.1. Похідна функції та диференціал
- Тема 6.2. Застосування диференціального числення до дослідження функцій та побудови їх графіків
- 6.1. Похідна функції та диференціал Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Задачі, які приводять до поняття похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Означення похідної функції. Основні правила диференціювання
- Властивості еластичності функції:
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Означення похідної функції
- Механічний зміст похідної:
- Основні правила диференціювання
- Доведення
- Похідні функцій заданих неявно та параметрично
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Диференціал, його геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень.
- Диференціали вищих порядків
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Зростання, спадання та екстремуми функцій, необхідні та достатні умови. Асимптоти до графіка функцій Зростання та спадання функції
- Розв’язання
- Доведення
- Екстремуми функції
- Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.
- Якщо в критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може бути екстремум, а може й не бути.
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Асимптоти до графіка функцій
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Дослідження функцій за допомогою похідної
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 7.1. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних
- 7.1. Функції багатьох змінних. Екстремуми функцій багатьох змінних Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Границя та неперервність функцій кількох змінних
- Розв’язання
- Доведення
- Неперервність функцій двох змінних
- Неперервність складеної (складної) функції двох змінних
- Приклади для самостійного розв’язування
- Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Застосування диференціального числення функцій багатьох змінних до наближених обчислень
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 8.1. Невизначений інтеграл
- Тема 8.2. Визначений інтеграл та його застосування
- Тема 8.3. Диференціальні рівняння першого порядку
- 8.1. Невизначений інтеграл Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Первісна функція. Невизначений інтеграл і його властивості. Таблиця невизначених інтегралів
- І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції
- Метод інтегрування частинами
- Приклади для самостійного розв’язування
- 8.2. Визначений інтеграл та його застосування Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Визначений інтеграл та його основні властивості
- Приклади для самостійного розв’язування
- Обчислення довжини дуги плоскої фігури, об’єму тіла обертання Площа фігури
- Розв’язання
- Область задана в полярних координатах
- Об’єм тіла, отриманого при обертанні кривої навколо координатної вісі
- Розв’язання
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Розв’язування вправ на диференціальні рівняння першого порядку
- Розв’язання
- Рівняння з відокремлювальними змінними
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Лінійні рівняння
- Розв’язання
- Розв’язання
- Однорідні рівняння
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Тема 9.1. Числові ряди, їх збіжність.
- Тема 9.2. Степеневі ряди.
- 9.1. Числові ряди, їх збіжність Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Ряд геометричної прогресії, його збіжність
- Розв’язання
- Радикальна ознака Коші. Використання ознак збіжності рядів з додатними членами
- Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца
- Розв’язання
- Приклади для самостійного розв’язування
- 9.2. Степеневі ряди Література
- Питання, що виносяться на самостійну роботу:
- Ряди Тейлора та Маклорена. Розклад елементарних функцій в ряд Маклорена.
- Приклади для самостійного розв’язування