Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної, показникової і навпаки

Комплексні числа не є числами в елементарному значенні цього слова, що застосовуються при підрахунках і вимірюваннях, а є математичними об'єктами, які визначаються поданими нижче властивостями.

Комплексне число позначається символом а + bі, де а і b - дійсні числа, які називаються відповідно дійсною i уявною частинами комплексного числа а + bі, а символ і, визначений умовою і² = –1, називається уявною одиницею.

Звичайно комплексне число а + bі позначають однією буквою (найчастіше z): z = а + bі.

z = а + bі - алгебраїчна форма

z = r ( cos φ + i sin φ) - тригонометрична форма

z = re^iφ - показникова форма

Перехід від алгебраїчної форми до тригонометричної форми і показникової здійснюється за слідуючим алгоритмом:

1. Знайти модуль комплексного числа за формулою:

2. Знайти аргумент комплексного числа.

Для цього знайти тангенс допоміжного кута φ, за формулою:

Зобразити комплексне число на координатній площині і визначити в якій чверті лежить радіус-вектор.

3. Якщо:

φ - І чверть, то φ = φ₁

φ - II чверть, то φ = π – φ₁

φ - III чверть, то φ = π + φ₁

φ - IV чверть, то φ = 2π – φ₁

4.Записати число в тригонометричній або в показниковій формах.

Приклад. Записати число z = -1 + і в тригонометричній і показниковій формах.