Основні принципи комбінаторики

Двома основними правилами комбінаторики є:

Принцип суми. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AB містить m+n елементів.

Принцип добутку. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, то AB містить mn елементів, тобто пар.

Кількість елементів множини A будемо далі позначати |A|.

Ці правила мають також вигляд:

Принцип суми. Якщо об'єкт A можна вибрати m способами, а об'єкт B – n іншими способами, то вибір "або A, або B" можна здійснити m+n способами.

Принцип добутку. Якщо об'єкт A можна вибрати m способами і після кожного такого вибору об'єкт B може бути вибраним n способами, то вибір "A і B" в указаному порядку можна здійснити mn способами.

Наведені правила очевидним чином узагальнюються на випадки довільних скінченних об'єднань множин, що попарно не перетинаються, та на скінченні декартові добутки.

Правило добутку застосовується для підрахунку кількості об'єктів, що розглядаються як елементи декартових добутків відповідних множин. Отже, ці об'єкти являють собою скінченні послідовності – пари, трійки тощо.

Нагадаємо, що з точки зору математики послідовність довжини m елементів множини A – це функція, яка натуральним числам 1, 2, …, m ставить у відповідність елементи з A.

Означення. Розміщення з повтореннями по m елементів n-елементної множини A – це послідовність елементів множини A, що має довжину m.

Приклад. При A={a, b, c} розміщення з повтореннями по два елементи – це пари (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c).

Якщо |A|=n, то за правилом добутку множина всіх розміщень з повтореннями, тобто множина A^m=AA…A, містить n^m елементів. Зокрема, якщо |A|=2, то розміщень з повтореннями 2^m. Зауважимо, що ці розміщення можна взаємно однозначно поставити у відповідність послідовностям з 0 і 1 довжини m.

У багатьох комбінаторних задачах об'єкти, кількість яких треба обчислити, являють собою послідовності, у яких перший елемент належить множині A₁, другий – A₂, тощо. Але досить часто множина A₂ визначається лише після того, як зафіксовано перший член послідовності, A₃ – після того, як зафіксовано перші два і т.д. Обчислимо, наприклад, кількість 7-цифрових телефонних номерів, у яких немає двох однакових цифр поспіль. Якщо на першому місці в номері є, наприклад, 1, то на другому може бути будь-яка з 9 інших цифр. І так само на подальших сусідніх місцях. Таким чином, тут |A₁|=10, |A₂|=|A₃|=…=|A₇|=9, і загальна кількість номерів є 109⁶.

Означення. Розміщення по m елементів n-елементної множини A, де mn – це послідовність елементів множини A, що має довжину m і попарно різні члени.

Приклади.

1. При A={a, b, c} розміщення по два елементи – це пари (a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b).

2. Розподіл n різних кульок по одній на кожний з m різних ящиків, mn. Ящики можна пронумерувати від 1 до m, кульки – від 1 до n. Тоді кожному розподілу взаємно однозначно відповідає послідовність довжини m попарно різних номерів від 1 до n.

Неважко підрахувати кількість послідовностей з прикладу 2. На першому місці може стояти будь-який із номерів 1, …, n. На другому – незалежно від того, який саме був на першому, будь-який із n-1, що залишилися. І так далі. За принципом добутку, таких послідовностей n(n-1)…(n-m+1), або n!/(n-m)!. Цей добуток позначається або (n)_m або n^m.

Означення. Перестановка n елементів множини A без повторень – це розміщення по n елементів, тобто послідовність елементів множини A, що має довжину n і попарно різні члени.

Приклад. При A={a, b, c} усі перестановки –це трійки (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).

Очевидно, що кількість перестановок n елементів дорівнює кількості розміщень по m при m=n, тобто n!. Отже, nⁿ=n!.

Означення. Комбінація по m елементів n-елементної множини – це її m-елементна підмножина.

Приклади.

1. При A={a, b, c} усі комбінації по два елементи – це підмножини {a,b}, {a,c}, {b,c}.

2. Розподіл n різних кульок по одній на кожний з m однакових ящиків, mn. Оскільки ящики однакові, то розподіл взаємно однозначно визначається підмножиною з m кульок, що розкладаються.

З кожної m-елементної комбінації елементів n-елементної множини можна утворити m! перестановок елементів цієї підмножини. Їх можна розглядати як розміщення по m елементів. Таким чином, кожні m! розміщень із тим самим складом, але різним порядком елементів відповідають одній комбінації. Звідси очевидно, що кількість комбінацій є = . Ця кількість позначається або .

Означення. Перестановка з повтореннями по m елементів множини A ={a₁, a₂, …, a_n} складу (k₁, k₂, …, k_n) – це послідовність довжини m=k₁+k₂+…+k_n, в якій елементи a₁, a₂, …, a_n повторюються відповідно k₁, k₂, …, k_n разів.

Приклади.

1. При A={a, b, c} перестановками з повтореннями складу (1, 0, 2) є послідовності (a,c,c), (c,a,c), (c,c,a), складу (1, 1, 1) – (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).

2. Нехай m різних кульок розкладаються по n різних ящиках так, що в першому ящику k₁ кульок, у другому – k₂ кульок, …, у n-му – k_n кульок, причому m=k₁+k₂+…+k_n. Пронумеруємо кульки від 1 до m, ящики – від 1 до n. Задамо розподілення кульок як функцію, яка ставить у відповідність номеру кульки номер ящика, куди вона потрапила. Отже, маємо послідовність довжини m=k₁+k₂+…+k_n, в якій номери 1, 2, …, n повторюються k₁, k₂, …, k_n разів відповідно. Очевидно, що така функція відповідає розкладу кульок взаємно однозначно. Таким чином, розклад подається як перестановка з повтореннями складу (k₁, k₂, …, k_n).

Кількість перестановок з повтореннями з елементів множини A={a₁, a₂, …, a_n} складу (k₁, k₂, …, k_n) позначається P(k₁, k₂, …, k_n) і виражається формулою:

P(k₁, k₂, …, k_n)= .

Означення. Біном Ньютона – це вираз вигляду (a+b)ⁿ.

Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. Школярі-восьмикласники знають формули розкладу бінома Ньютона в многочлен із степенями a і b при n=2 та 3:

(a+b)²=a²+2ab+b²,

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.

Спробуємо розкласти (a+b)ⁿ в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді, пронумерувавши дужки:

1 2 … n

(a+b)(a+b)…(a+b).

Очевидно, що кожний доданок містить n множників – k множників a і n-k множників b, тобто має вигляд a^kb^n-k, де kn, k0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка ми брали множники a. Таким чином, доданків a^kb^n-k рівно стільки, скільки таких підмножин, тобто = . Отже,

(a+b)ⁿ =

Коефіцієнти при a^kb^n-k називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)ⁿ.

Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:

= =. .

Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:

при b=1 маємо (a+1)ⁿ = ,

при a=b=1 маємо (1+1)ⁿ = 2ⁿ = ,

при a= –1, b=1 маємо (–1+1)ⁿ = 0ⁿ = (–1)^k.

За останньою рівністю, зокрема, природно означити 0⁰ як 1.

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

= +

Ця тотожність називається правилом додавання.

Таблиця біноміальних коефіцієнтів зображається ще у вигляді так званого арифметичного трикутника, або трикутника Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

………….…