Розв’язання

Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто

дістанемо:

_{Відповідь. 127/6.}

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджується теореми про границю суми, добуту та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо (f (x) - функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють b.Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних z = f (x, y) наближення до точки (x₀, у₀) можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під кутом до осі х тощо.

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях.

Очевидно що рівність справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки (x₀, у₀) по будь-якій траєкторії. Отже маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

Приклад. Довести, що не існує.