logo search
Метод посібник Вища матем

Ряди Тейлора та Маклорена. Розклад елементарних функцій в ряд Маклорена.

Ряд Тейлора - розклад функції в нескінченну суму степеневих рядів. Ряд названий на честь англійського математика Тейлора, хоча ряд Тейлора був відомий задовго до публікації Тейлора – його використовували ще в ХVІІ столітті Григорі, а також Ньютон.

Означення. Нехай функція f(x) нескінченно диференційована в деякому околі точки a. Формальний ряд називається рядом Тейлора функції f в точці a.

Означення. Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду Тейлора при а= 0:

(1)

Правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:

а) знайти похідні f´(х), f˝(х), ...., fп(х), ...;

б) обчислити значення похідних в точці х = 0;

в) записати ряд Маклорена (1) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;

г) визначити інтервал (–R; R), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) → 0 при п → ∞.

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:

Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати):

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Доведемо формули (2) – (8).

  1. Нехай f (x)=ex. Маємо:

а) б) в)

отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (– ∞;+ ∞);

г) тому за теоремою функцією ех можна розкласти в степеневий ряд на довільному інтервалі (- R; R) (-∞; + ∞), а отже, і на всьому інтервалі (-∞; + ∞). Формулу (2) доведено.

  1. Нехай f (x) = sin x. Дістанемо

а) f’(x) = cos x = sin (x + );

fn(x) = sin x = sin (x + 2 );

f’’’(x) = cos x = sin (x + 3 );

……………………………

fn(x) = sin (x + 2 ), n N;

б) fn(0) = sin n =

в) (-1)n = ;

R= lim = =

г) x тобто формулу (3) доведено.

3.Нехай f(х) = cos x. Формулу (4) можна довести так само, як і формулу (3). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (3).

4.Нехай f(х) = (1+x)m, m R.Маємо:

а) f’(x) =m(1+x)m-1, fn(x) =m(m-1) (1+x)m-2,…,

f(n)(x) =m(m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n N;

б) f(n)(0) =m(m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n N;

в) 1+ mx

+

R=

тобто знайдений ряд збіжний в інтервалі (1,1). Доведення, що на цьому інтервалі , опускаємо.

Ряд (5) називають біноміальним. Якщо дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона.

Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1;1) залежить від числа m.

Ряд (5) збіжний до функції (1+х)m в таких випадках:

- при m, якщо ;

- при -1<m < 0, якщо ;

- при m , якщо .

Приймемо ці твердження без доведення.

5. Нехай f(x) = . Формулу (6) виводимо трьома способами: користуючись правилом розкладання функції в ряд; застосувавши формулу (5) і поклавши в ній m=-1 і –x замість х; розглядаючи ряд 1+х+х2+...хn+... як геометричну прогресію, перший член якої дорівнює одиниці, а знаменний q=x. Відомо , що даний ряд збіжний при і сума його дорівнює (1-х)-1.

6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (6) покласти – х замість х, потім – х2 замість х і знайдені ряд про інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln(1+x) і функції arctg x (формули (7), (8)).

Ряди (2) - (8) використовуються при знаходження степеневих рядів для інших функцій.

Приклад. Розкласти в ряд функцію f(x) = x2 ln (1-x3).

Поклавши у формулу (7) – х3 замість х, маємо:

ln(1-x3)=-x3-

x2 ln(1-x3) =-x5-