Розв’язання

а) Маємо K₁ = 112 , К = 100 , п= 1. Тоді за формулою (1) знайдемо:

, р =12%.

б) 12% -14% = -2%.

в) При від’ємній реальній процентній ставці доцільним буде витратити гроші зараз, оскільки сума процентних надходжень не перевищує зростання цін на товари.

г) У такому разі реальна процентна ставка становить 12% - 10% = 2%. При додатній процентній ставці краще зберегти гроші, поклавши їх до банку.

Відповідь. а) р = 12%; б) -2%; в) При від’ємній реальній процентній ставці доцільним буде витратити гроші зараз, оскільки сума процентних надходжень не перевищує зростання цін на товари; г) краще зберегти гроші, поклавши їх до банку

Якщо прибуток по закінченні року додають до початкової суми, то в такому разі мова йде про складні проценти.

Припустимо, що початкова сума дорівнює К і на цю суму протягом п років нараховується процент за питомою нормою і, причому проценти є складними. Тоді через рік дістанемо суму:

К₁=К + К_і = (1+ і),

через два роки —

К₂ = К₁ + К_1і = K₁(1 + і) = К (1+і)².

Методом математичної індукції доведемо, що через п років ця сума становитиме:

К_n = К(1 + i)ⁿ (2)

Справді, при п = 1 формула (2) є правильною. Припустимо, що вона є правильною при п = m , тобто К_т = К (1 + i)^m. Нарешті, покажемо, що вона буде правильною і при п = т + 1:

К_т+1 = К_т (1 + і) =К(1 + і)^т(1 + і) = К(1 + і)^т+1.

Вираз

1 + і = r (3)

називається коефіцієнтом складного процента.

З урахуванням виразу (3) формулу (2) можна записати ще так:

К_п=Кr^п. (4)

З формули (4) випливає, що К_п - це (п + 1) -й член геометричної прогресії з першим членом К і знаменником r. Для данного випадку К_n - показникова функція, аргументом якої є натуральні числа.

Складні проценти застосовують у бухгалтерському обліку багатьох галузей народного господарства, у банках, а також при різноманітних статистичних розрахунках, насамперед при визначенні середньорічних темпів відносного приросту продукції за тривалі періоди часу (за п’ять років, десять тощо).

Приклад. До ощадного банку зроблено внесок терміном на 10 років на суму 1000 грн. Яку суму сплатить ощадний банк по завершені цього терміну, якщо процентна ставка p = 3%?