logo search
Метод посібник Вища матем

Розв’язання

Це рівняння з відокремлювальними змінними. Розпишемо похідну як відношення диференціалів:

Перенесемо другий доданок в праву частину і домножимо обидві частини на dx:

(1 + х2) · dy = 2х · у ·dx ;

Відокремимо змінні. Для цього поділимо обидві частини на (1+ х2) · у, маємо:

- в рівнянні змінні відокремлені.

Знайдемо інтеграли від лівої і правої частини рівняння.

Для зручності сталу запишемо у логарифмічній формі:

;

у = с · (1 + х2) – загальний розв’язок диференціального рівняння.

Розв’яжемо задачу Коші при х = 0, у = 5:

5 = с · (1 + 0);

с = 5.

Тоді, у = 5 · (1 + х2) - частинний розв’язок.

Відповідь. Загальний розв’язок у = с · (1 + х2), частинний розв’ язок у = 5 · (1 + х2).

Запишемо алгоритм розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлювальними змінними.

  1. Розпишемо похідну як відношення диференціалів: ;

2. Домножимо обидві частини на dx і перенесемо члени, що містять dx в одну частину рівняння, а dy - в другу.

3. Відокремимо змінні, тобто зберемо в одній частині функцію, що залежить від y разом з dy, а в другій - функцію від х разом з dx.

Знайдемо інтеграл від лівої і правої частини рівняння. Одержимо частинний розв’язок диференціального рівняння.

Розв’яжемо задачу Коші і знайдемо частинний розв’язок рівняння.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння (1 + e2x) · y2 · y = ex.