Розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом

При побудові множини комплексних чисел була забезпечена виконуваність дії добування квадратного кореня з від’ємних чисел. Розглянемо цю дію. Зауважимо, що існують два і тільки два значення квадратного кореня з -1, а саме: і та -і. Умовно це записують так: = ± і. Аналогічно існує два і тільки два значення квадратного кореня з числа -а, а саме: та - , де під розуміють арифметичний корінь. Умовно це записують так: = ± , наприклад = ±8і, = ± 0,12і.

Розглянемо тепер розв'язування квадратних рівнянь з від’ємними дискримінантами. Нагадаємо, що до введення множини комплексних чисел вважалося, що такі рівняння не мають коренів.

Нехай дано рівняння x² + 8х + 17 = 0. Маємо: х_1,2 = - 4 ± , або х_1,2 = - 4 ± . Враховуючи попереднє зауваження, це можна записати так: х₁ = -4 + і, х₂ = -4 - і. Корені х₁ та х₂ є спряженими комплексними числами. Взагалі, будь-яке квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами і від’ємним дискримінантом має два комплексні спряжені корені. Можна довести, що й для таких рівнянь виконується теорема Вієта. Наприклад, для розглянутого вище рівняння х₁ + х₂ = (-4 + і) + (-4 - і) = -8; х₁ х₂ = (-4 - і) (-4 - і) = 16 + 1 = 17, тобто сума коренів дорівнює коефіцієнту при х з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному члену.

Приклад. Розв’язати рівняння:

а) х² – 4х + 5 = 0.

Маємо: х_1,2 = 2 ± ; х_1,2 = 2 ± і.

б) z² + 6z +13 = 0.

Маємо: z_1,2 = -3 ± ; z_1,2 ⁼ -3 ± 2і.

в) 4х² + 3х + 1 = 0.

Маємо: х_1,2 = ,

х_1,2 = .

Розглянемо приклад на складання квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами за його коренями.

Нехай х₁ = 3 - і, х₂ = 3 + і.

х₁ + х₂ = (3 - і) + (3 + і) = 6.

х₁ х₂ = (3 - і) (3 + і) = 9 - і ² = 9 .

Числа х₁ і х₂ є коренями рівняння х²- 6х + 9 = 0. Отже, шуканим є рівняння 4х² – 24х + 37 = 0.

Означення. Рівняння виду zⁿ - а = 0, де z - невідома величина, а - будь-яке комплексне число, називаються двочленними рівняннями.

Розв’язання рівняння

Zⁿ = a

Z =

В множинні комплексних чисел рівняння має n - коренів.

Приклад. Розв’язати рівняння z³ - 8 = 0 .

Розв’язання

z³ = 8.

Число 8 = 8(cos 0 + і sin 0) - тригонометрична форма.

z = k = 0,1,2

z₁ = 2(Cos 0 + і Sin 0) = 2

z₂=

z₃ =

Відповідь. z₁ = 2; z₂= ; z₃ =

Означення. Рівняння виду aZ²ⁿ + bZⁿ + c = 0, де Z- невідома величина, a,b,c - числа називаються тричленними рівняннями.

Розв’язуються рівняння заміною Zⁿ = t, тоді at² + bt + с = 0.

Приклади для самостійного розв’язування

Розв’язати рівняння:

1) х² -12х + 45 = 0; 2) 2x² - х + 3 = 0; 3) x² + 6х+18 = 0; 4) 3х² + 2х + 27 = 0;

5) 3х² + 7х + 5 = 0; 6) z² - 2z - 5 = 0.

7) z⁴ = 16; 8) z⁵ = 32i;

9) z⁴ – 3z² - 4 = 0; 10) z⁶ – 7z³ - 8 = 0.

Поняття про прості і складні відсотки, їх застосування у конкретних задачах

Кошти, які пускають в обіг, сприяють отриманню прибутку.

Означення. В економічній практиці грошова сума, яка сплачується щорічно за користування коштами, називається процентом.

Означення. Відношення процента до суми використовуваних коштів називається процентною ставкою або нормою. Процентна ставка позначається буквою p і виражається у процентах.

Для зручності розрахунків введемо величину i = p / 100, яку називають питомою процентною ставкою.

Якщо проценти від коштів додаються до цих коштів, то відбувається накопичення суми. Припускатимемо, що по закінченні кожного року прибуток за цей рік вилучається. Тоді прибуток за наступний рік знову нараховуватиметься з початкової суми. У такому разі мова йде про прості проценти.

Нехай початкова сума дорівнює К, а питома процентна ставка - i. Тоді, за п років до початкової суми додаються Кпі. Отже, накопичена сума К_n визначатиметься формулою:

К_п=К + Кпі=К∙(1 +пі) (1)

Отже, у випадку простих процентів К_п є лінійною функцією від п.

Приклад. До ощадного банку покладено на збереження гроші в сумі 5 млн. грн. На скільки збільшиться сума через 7 років, якщо норма процента p = 3%?