Область задана в полярних координатах

Якщо область D - сектор, обмежений променями φ = α, φ = β та кривою r = r(φ), формула для знаходження площі отримується з допомогою слідуючої інтегральної конструкції.

Розіб’ємо проміжок α ≤ φ ≤ β променями α = φ₀ < φ₁ <…< φ_і-1 < φ_і <…< φ_n < β на n частин; . На кожному з відрізків виберемо довільну точку ξ_і, знайдемо r(ξ_і), тоді дорівнює площі сектора круга, обмеженого променями , та дугою кола радіуса r(ξ_і). Об’єднання цих секторів – знову ступінчаста фігура, наближуючи дану область D, її площа:

При різниця між S_ступ та S - площею області D – буде також наближатися до нуля, так як:

.

Приклад. Знайти площу, обмежену лемніскатою .

Розв’язання

Точки лемніскати розміщені в секторах та ; крім того, при розв’язуванні таких задач доцільно використовувати симетрію фігури, тому ми знайдемо площу частини, розміщеної в секторі і збільшимо її вчетверо:

. Відповідь. S = 2a².

Приклад. Знайти площу, що знаходиться всередині кардиноїди поза колом .

Р озв’язання

Знайдемо різницю площ областей, що знаходяться всередині кардиноїди та кола. Для верхньої частини кардиноїди ; для верхньої частини кола , тому:

Відповідь. S = 5π/4.

Приклад. Знайти площу, що лежить всередині кола поза лемніскатою .

Р озв’язання

Точки перетину лемніскати та кола знаходимо з умови:

,

Область симетрична відносно полярної осі, тому знаходимо площу верхньої частини та подвоюємо її.

При зміні φ від до полярний радіус змінюється від до ; при зміні φ від до полярний радіус змінюється від 0 до ; тому:

Відповідь. S =

Область обмежена кривими, заданими параметрично

Якщо крива, що обмежую криволінійну трапецію ABCD задана в параметричному вигляді: , а = φ(t₀), b = φ(t_k); то перехід в інтегралі до змінної t призводить до формули:

Приклад. Знайти площу, обмежену астроїдою .

Розв’язання

Використаємо симетрію фігури. Знаходимо площу частини фігури, що розміщена в першому квадранті ( ), та збільшимо її в 4 рази. Точку (0, a) отримуємо при , точку (a, 0) - при t = 0, тому:

Відповідь.

Обчислення довжини кривої

Н ехай на площині задана крива AB. Розіб’ємо дану криву точками A = M₀, M₁, M₂, …, M_i-1, M_i, …, M_n = B на n частин і впишемо в криву ламану M₀ M₁ M₂ …M_i-1 M_i … M_n, яка з’єднує ці точки. Довжина L _лам цієї ламаної дорівнює сумі довжин прямолінійних ланок, з’єднуючих точки розбиття:

Спрямуємо тепер кількість n точок розбиття до нескінченності так, щоб максимальна довжина ланки прямувала до нуля. Якщо при цьому існує кінцева границя послідовності довжин ламаних L _лам, не залежних від способу розбиття кривої, то крива називається спрямленою, а значення цієї границі називається довжиною кривої AB.

Довжина кривої в декартових координатах. Нехай тепер крива AB - графік функції кривої y = f(x), що має неперервну похідну f '(x), а ≤ х ≤ b. Тоді точка M_i має координати (x_i, f(x_i)), ланка M_i-1M_i має довжину:

.

Функція y = f(x) на відрізку [x_i-1, x_i] задовольняє умовам теореми Лагранжа, тому існує точка [x_i-1, x_i] така, що . Враховуючи те, що довжина ланки M_i-1M_i дорівнює , довжина всієї ламаної - . Остання сума – інтегральна сума для інтегралу , і, внаслідок неперервності підінтегральної функції, прямує до нього при . Отже, довжина кривої, що задана декартовим рівнянням y = f(x), а ≤ х ≤ b, визначається за формулою:

Приклад. Знайти довжину відрізка параболи y = x² від точки A(0,0) до точки B(2,4).

Розв’язання

, , тому:

Відповідь.

Довжина кривої, що задана параметрично

, а = φ(t₀), b = φ(t_k);

Замінимо в змінну x на змінну t. Так як , то .

Отже, довжина кривої, що задана параметрично, визначається за формулою:

Приклад. Знайти ділянки розкладки кола, що відповідає одному завитку нитки.

Розв’язання

Крива задається рівняннями:

Відповідь.

Крива задана в полярних координатах. Випадок, коли крива задається рівнянням r = r(φ), α ≤ φ ≤ β, легко зводиться до попереднього. Так як , , то, розглядаючи полярний кут φ як параметр, отримаємо:

, тому:

Приклад. Знайти довжину кардиноїди .

Розв’язання

, тому:

. Відповідь явно безглузда. Де ж помилка? Помилка в тому, що не врахований знак модуля при добуванні кореня з .

Правильний розв’язок:

Проте, як і в попередніх випадках, простіше користуватися симетрією фігури, знайти довжину верхньої вітки та подвоїти її:

Відповідь. L = 8a.

Об’єми тіл обертання

Обчислення об’єму за площами поперечних перерізів. Нехай тіло V розміщено в просторі між площинами x = a і x = b, і для відома площа його поперечного перерізу S = S(x). Необхідно знайти об’єм цього тіла. Розріжемо це тіло площинами x = x₀ = a, x = x₁, x = x ₂, …, x = x_i-1, x = x_i, …, x = x _n-1, x = x_n = b на n шарів (a = x₀< x₁ < < x₂< …< x_n-1 < x_n = b), на кодному з відрізків [x_i-1, x_i] візьмемо довільну точку ξ_і; вважатимемо, що об’єм шару, що знаходиться між площинами x = x_i-1 та x = x_i приблизно дорівнює об’єму циліндра з площею основи S(ξ_і) та висотою : . Сума об’ємів - об’єм ступінчатої фігури, при наближається до шуканого об’єму V, тому: