Визначений інтеграл та його основні властивості

1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

(1)

Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.

Визначений інтеграл введений для випадку, коли a < b. Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли a = b i a > b.

2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

(2)

3. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

(3)

Властивості 2 і 3 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона – Лейбніца.

4. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність (адитивність визначеного інтеграла):

(4)

Припустимо спочатку, що a < c < b. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на частинні відрізки, то розіб’ємо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбиття. Якщо, наприклад, с = хт, то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (4).

Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого. Якщо, наприклад, a < b < c, то за формулами (4) і (3) маємо:

На рис. 1 показано геометрично цю властивість для випадку, коли f(x) > 0 і a < b < c: площа трапеції aABb дорівнює сумі площ трапеції aACc i cCBb.

Зауваження. Нехай f(x) – знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a < b, наприклад, і (рис.2).

Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо:

де S₁, S₂, S₃ – площі відповідних криволінійних трапецій.

Рис.1 Рис.2

Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл при a < b дорівнює алгебраїчній сумі площ відповідних криволінійних трапецій, розміщених над віссю Ох, які мають знак плюс, а нижче осі Ох – знак мінус. Якщо a > b то все формулюється навпаки.

Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 2 фігури виражається інтегралом:

5. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла:

(5)

Дійсно

6. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:

(6)

Для довільного τ – розбиття маємо:

Звідси, переходячи до границі при дістанемо формулу (6). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків.

Властивості 5 і 6 називають лінійністю визначеного інтеграла.

7. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то:

(7)

(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).

Оскільки то будь-яка інтегральна сума і її границя при , теж невід’ємна.

8. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то:

(8)

(монотонність визначеного інтеграла).

Оскільки , то з нерівності (7) маємо:

Використовуючи властивість 4, дістанемо нерівність (8).

Якщо і , то властивість 8 можна зобразити геометрично (рис.3): площа криволінійної трапеції aA₁B₁b не менша площі криволінійної трапеції aA₂B₂b.

Рис.3

9. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b] (a<b), то:

(9)

Застосовуючи формулу (8) до нерівності , дістаємо:

Звідки й випливає нерівність (9).

10. Якщо , то:

(10)

Скориставшись формулами (9) та (5), дістанемо:

Звідси й одержуємо нерівність (10), оскільки:

(11)

11. Якщо т і М – відповідно найменше і найбільше значення функції f(х) на відрізку [a;b] (a<b), то:

(12)

(оцінка інтеграла по області).

За умовою , тому з властивості 7 маємо:

Застосовуючи до крайніх інтегралів формули (5) і (11), дістаємо нерівність (12).

Якщо , то властивість 11 ілюструється геометрично (рис. 4): площа криволінійної трапеції aABb не менша площі прямокутника aA₁B₁b і не більша площі прямокутника aA₂B₂b.

Рис. 4

12. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що:

(13)

(теорема про середнє значення функції).

Якщо функція f(х) неперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого значення М і найменшого значення т. Тоді з оцінок (12) дістанемо (якщо a<b):

Припустимо, що .

Оскільки функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває всі проміжні значення відрізка [m; M]. Отже, існує точка така, що , або:

(14)

звідки й випливає дана властивість.

Для випадку, коли a>b, приводимо ті самі міркування для інтеграла , а потім, переставивши границі, приходимо до попередньої формули.

Рівність (14) називається формулою середнього значення, а величина f(с) – середнім значенням функції на відрізку [a;b].

Теорема про середнє значення при має такий геометричний зміст (рис. 5): значення визначеного інтеграла дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b-a.

Термін “середнє значення функції” добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (14) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b], то середнє значення f(c) означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f(t).

Рис.5

13. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.

Ця властивість дає змогу говорити про інтеграл навіть тоді, коли функція f(х) не визначена в скінченому числі точок відрізка [a;b]. При цьому в цих точках функції можна надати цілком довільних значень і величина інтеграла не зміниться.