Дослідження функцій за до­помогою похідної

Загальновідомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1. знайти область визначення функції та множину її значень;

2. дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;

3. знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;

4. дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;

5. знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6. знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;

7. для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.

Зауважимо, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.

Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.

Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є періодичною.

Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.

Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.

Для складних функцій можна керуватися такими простими твердженнями:

1. якщо функція парна, то складна функція також парна;

2. якщо функція і непарні, то складна функція непарна;

3. якщо непарна, а функція парна, то складна функція парна;

4. якщо функція періодична, то і складна функція періодична, причому її період може бути меншим за період функції , але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго монотонна.

Зручно користуватися такими твердженнями:

1. сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією;

2. добуток парних функцій є парною функцією;

3. добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;

4. добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.

Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.

Приклад. Побудувати графік функції