Задачі, які приводять до поняття похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Означення похідної функції. Основні правила диференціювання

Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и (t) відображає кількість виробленої продукції и за час t і необхідно знайти продуктивність праці в момент t₀.

За період часу від t₀ до t₀ + t кількість виробленої продукції зміниться від значення и₀ = u(t₀) до значення и₀ + и = u(t₀ + t); тоді середня продуктивність праці за цей період часу Z_cep = и / t. Очевидно, що продуктивність праці в момент t₀ можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t₀ до t₀ + t при t → 0, тобто:

Z =

Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу.

Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної. Витрати виробництва y будемо розглядати як функцію кількості продукції х, що виробляється. Нехай х – приріст продукції, тоді у - приріст витрат виробництва і - середній приріст витрат виробництва продукції на одиницю продукції. Похідна — виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична користь, гранична продуктивність та інші граничні величини.

Застосування диференціального числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величина), а процес зміни економічного об’єкта. Таким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого об’єкта дослідження. Але необхідно врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об’єктів економічних розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких випадках можна відокремитись від дискретності показників і ефективно використовувати граничні величини.

Розглянемо, як приклад, співвідношення між середнім та граничним доходом в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний доход (виручка) від реалізації продукції r можна визначити як добуток ціни одиниці продукції p на кількість продукції q, тобто r = pq.

В умовах монополії одна або декілька фірм повністю контролюють пропозиції певної продукції, а отже і її ціну. При цьому, як правило, зі збільшенням ціни попит на продукцію падає. Вважає, що цей процес проходить по прямій, тобто крива попиту p(q) є лінійна спадаюча функція p=aq+b, де а<0, b>0. Звідси сумарний доход від реалізованої продукції складає r = (aq+b)q = aq²+bq (див. рис. 1). В цьому випадку середній доход на одиницю продукції r_cep= r / q = aq+b, а граничний прибуток, тобто додатковий доход від реалізації одиниці додаткової продукції, складатиме r'_q= 2aq+b (див. рис. 1). Звідси, в умовах монопольного ринку зі зростанням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення (з меншою швидкістю) середнього прибутку.

В умовах досконалої конкуренції, коли на ринку функціонує велика кількість учасників і кожна фірма не спроможна контролювати рівень цін, стабільна реалізація продукції можлива при домінуючій ринковій ціні, наприклад, р=b. При цьому сумарний прибуток складатиме r=bq і відповідно середній прибуток r_сер = r / q = b; граничний прибуток r'_q =b (див. рис. 2). Таким чином, в умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.

Рис. 1 Рис. 2

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.

Означення. Еластичністю функції Е_х(у) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при x → 0:

(1)

Еластичність функції наближено відображає, на скільки відсотків зміниться функція y=f(x) при зміні незалежної змінної х на 1%.

Визначимо геометричний зміст еластичності функції. За означенням (1) , де tg α - тангенс кута нахилу дотичної в точці М(х;у) (див. рис. 3). Враховуючи, що з трикутника MBN: MN = х tga, MC = у, а з подібності трикутників MBN та АМС: , отримаємо Е_х(у) = , тобто еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює відстаней по дотичній від даної точки графіка до точок її перетину з осями Ох та Оу. Якщо точки перетину дотичної до графіка функції А і В знаходяться по одну сторону від точки М, то еластичність Е_х(у) додатня (див. рис. 3), якщо по різні сторони, то Е_х(у) від'ємна (див. рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4