Розв’язання

Функція задана неявно. Диференціюємо ліву і праву частини рівняння по змінній х, отримуємо:

(х³) + (ln у)' - (х²e^y)' = 0

3х² + ∙ у' - (х²)'- е^у - х²(е^у)' = 0

3х² + ∙ у' - 2xe^y - x²e^yy' = 0

∙ у' - x²e^yy' = 2xe^{y -} 3х²

у ' ∙ ( - x²e^y) = 2xe^{y -} 3х²

Відповідь. .

Означення. Функція виду у = (U(x))^v(x), де U(x) і V(x) - функції від x називається степенево-показниковою.

При знаходженні похідної необхідно знайти логарифм лівої і правої частини рівняння, знайти похідну від обох частин і виразити у.

y = U^V

ln у = ln U^V

lny= V lnU

Оскільки ln у і ln U - складені функції, після диференціювання обох частин рівності дістанемо:

^∙ y' = V' lnU+U' V

Звідки у' =y(V ln U+ V);

або y'=U^V (V' lnU + V)

Приклад. Знайти похідну функції y = (sin x)^tgx