Знаходження рангу матриць з використанням елементарних перетворень

Розглянемо матрицю А розмірністю т×п і введемо ще одне важливе поняття

Означення. Рангом матриці А розмірністю т × п називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, утвореного з елементів матриці.

Зрозуміло, що rang A = r ≤ тin(т, п), а максимально можливий ранг матриці може дорівнювати мінімальному з чисел т і п.

Розглянемо також поняття обвідного мінора k-го порядку. Це буде такий мінор (k+1) - го порядку, який повністю утримує в собі мінор k -го порядку.

При обчисленні рангу матриці треба переходити від мінорів менших порядків, відмінних від нуля, до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено мінор k-го порядку М - відмінний від нуля, то треба обчислити лише мінори (k + 1)-го порядку, що обводять мінор М. Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед них знайдеться такий, що відмінний від нуля, то далі для нього будуються обвідні мінори (k +2)-го порядку і т.п.

Означення. Елементарними перетвореннями матриці А називаються такі її перетворення:

1. заміна місцями двох рядків або двох стовпців матриці;

2. множення рядка або стовпчика матриці на довільне, відмінне від нуля число;

3. додавання до одного рядка або стовпчика іншого рядка або стовпчика попередньо помноженого на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

У подальшому матриці, які мають рівні ранги будемо називати еквівалентними матрицями. Еквівалентні матриці будемо об'єднувати ~ (хвилька).

Приклад. Знайти ранг матриці методом обвідних мінорів