Зростання, спадання та екстремуми функцій, необхідні та достатні умови. Асимптоти до графіка функцій Зростання та спадання функції

Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.

Теорема. Нехай функція неперервна на проміжку [a,b] і диференційована в інтервалі (а,b).для того, щоб функція f була зростаючою (спадною) на проміжку [a,b], необхідно і достатньо виконання двох умов:

2. рівність не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в [a,b].

Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня ознака строгої монотонності):

Теорема. Нехай функція f неперервна на проміжку [a,b] і диференційована в інтервалі (а,b). Якщо , то f зростає (спадає) на [a,b].

Тому для знаходження проміжків зростання та спадання диференційованої функції діють у такий спосіб:

1. Знаходять:

       а)область визначення функції , якщо вона наперед не задана;

       б)похідну даної функції ;

       в)точки, в яких похідна дорівнює нулю, для чого розв’язують рівняння , а також точки, в яких функція визначена, але похідна не існує, їх називають критичними точками.

2. Визначають знак похідної на конкретному інтервалі, достатньо обчислити її значення для будь-якого значення аргументу, що належить цьому інтервалу.

Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції