Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може , а функція в цій точці екстремуму не має.

Означення. Точки, в яких функція визначена та неперервна, і в цих точках або не існує, називаються критичними для функції.

Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх дають такі теореми:

Теорема. Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х₀, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х₀).

Якщо для х<х₀ , а для х₀<x , то для х=х₀ функція має максимум.

Якщо для х<х₀ , а для х₀<x , то для х=х₀ функція має мінімум.

Теорема. Нехай функція два рази диференційована в околі точки х₀ і . Тоді в точці х=х₀ функція має локальний максимум, якщо , і локальний мінімум, якщо .

Якщо ж , то точка х=х₀ може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

1. знаходять критичні точки функції , тобто точки, в яких , або не існує;

2. знаходять другу похідну і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.