logo
квадратные уравнения

У р о к 2 (53) Применение теоремы Виета и обратной ей теоремы

Цели: продолжить формирование умения применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых и неприведённых квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Убедитесь, что уравнение имеет корни и назовите их сумму и произведение:

а) х2 – 12х – 45 = 0; д) х2 – 27х = 0;

б) у2 + 17у + 60 = 0; е) 60z + z2 = 0;

в) 3у – 40 + у2 = 0; ж) 3х2 – 15х + 18 = 0;

г) х2 – 2х + 16 = 0; з) х2 + х + 8 = 0.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х2 – 3х – 18 = 0; х1 = –3;

б) 2х2 – 5х + 2 = 0; х1 = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х2ах + 6 = 0 были бы числа 2 и 3?

В а р и а н т 2

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х2 – 4х – 21 = 0; х1 = –3;

б) 2х2 – 7х + 6 = 0; х1 = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х2 – 5х + а = 0 были бы числа 2 и 3?

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

На первых порах учащимся может быть трудно подбирать корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни уравнения и записывать соответствующие равенства.

Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем с оценивания произведения корней, то есть находим делители свободного члена квадратного уравнения.

1. № 586.

Р е ш е н и е

Пусть х1 = 12,5 и х2 – корни уравнения х2 – 13х + q = 0,

тогда х1 + х2 = 13 и х1 · х2 = q.

Имеем 12,5 + х2 = 13, значит, х2 = 13 – 12,5, х2 = 0,5.

Тогда 12,5 · 0,5 = q, q = 25.

О т в е т: х2 = 0,5; q = 25.

2. № 587.

Р е ш е н и е

Пусть х1 = 8 и х2 – корни уравнения 5х2 + bx + 24 = 0,

тогда х1 + х2 = –,х1х2 = .

Имеем 8 ∙ х2 = , значит,х2 = .

Тогда 8 + = –, 8,6 = –0,2 ∙b, b = –43.

О т в е т: х2 = 0,6; b = –43.

3. № 589, № 590 – самостоятельно.

4. № 593 (а), № 594 (а, д, е), № 595 (б, д, е).

5. № 675.

После выполнения этого упражнения можно рассмотреть с учащимися два способа нахождения корней квадратного уравнения, вытекающие из теоремы Виета.

1-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х1 = 1, х2 = .

2-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту b, то х1 = –1, х2 = –.

В буквенном виде это может быть записано так:

ax2+bx+c= 0

Если a+b+c= 0, тох1= 1;х2=.

Если a+c=b, тох1= –1;х2= –.

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задачи повышенной трудности.

№ 591.

Р е ш е н и е

Пусть х1, х2 – корни уравнения х2 + 2х + q = 0.

По теореме Виета: х1 + х2 = –2 (1) и х1 · х2 = q (2).

По условию = 12. (Черезх1 обозначим больший корень.) Значит, по формуле сокращенного умножения:

(х1х2) (х1 + х2) = 12;

(х1х2) · (–2) = 12;

х1х2 = –6;

х1 = х2 – 6.

Подставим в первое равенство вместо х1 его значение:

х2 – 6 + х2 = –2;

2х2 = 4;

х2 = 2.

Вычислим х1 = 2 – 6 = –4.

Из второго равенства найдём q = –4 · 2, q = 8.

О т в е т: q = 8.