logo
квадратные уравнения

IV. Формирование умений и навыков.

Все у п р а ж н е н и я, решаемые на этом уроке, можно разбить на три группы:

1-я г р у п п а. Упражнения на непосредственное применение формулы (II) корней квадратного уравнения.

2-я г р у п п а. Упражнения с выбором формулы (I или II) корней квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента.

3-я г р у п п а. Упражнения повышенной трудности.

1. № 539 (б, г, ж), № 540 (в, з).

При решении этих упражнений демонстрируем учащимся применение новой формулы для случая, когда корни уравнения являются иррациональными. Для этого вызываем двух учеников к доске и параллельно проводим решение по разным формулам.

№ 539 (ж).

Р е ш е н и е

7z2 – 20z + 14 = 0.

Ф о р м у л а I

Ф о р м у л а II

D = (–20)2 – 4 · 7 · 14 =

= 400 – 392 = 8.

D1 = (–10)2 – 7 · 14 =

= 100 – 98 = 2.

(Ещё раз замечаем, что D1 = .)

x = .

Вынесем множитель

из-под знака корня:

x = , то есть

x = .

x = .

Таким образом, получаем такие же корни.

2. № 541 (б, в, ж), № 546 (а, г), № 550 (б), № 552 (а, в), № 553 (а).

3. № 554, № 555.

Эти упражнения можно предложить сильным в учебе учащимся, сократив для них количество заданий из 1-й и 2-й группы.

№ 554.

Р е ш е н и е

а) х2 – 5х + 6 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x1 = = 2;x2 = = 3.

6х2 – 5х + 1 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 6 · 1 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x1 = ;x2 = .

б) 2х2 – 13х + 6 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 2 · 6 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x1 = ;x2 = = 6.

6х2 – 13х + 2 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 6 · 2 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x1 = ;x2 = = 2.

Можно предположить, что корни уравнений ax2 + bx + c = 0 и cx2 + + bx + a = 0 являются взаимно-обратными числами. Докажем это.

ax2 + bx + c = 0.

cx2 + bx + a = 0.

x1 = ;

x2 = .

x3 = ;

x4 = .

(Мы предполагаем, что b2 – 4ac ≥ 0, то есть корни существуют.)

Вычислим x1 ∙ x4 = =

= 1. Значит, х1 и х4 – взаимно-обратные числа.

Аналогично доказывается, что x2 и x3 – взаимно-обратные числа.

№ 555.

Р е ш е н и е

х2 – ах + (а – 4) = 0.

D = (–а)2 – 4 · 1 · (а – 4) = а2 – 4а + 16.

Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:

D = (а2 – 2 · 2 · а + 4) + 12 = (а – 2)2 + 12.

Дискриминант принимает положительные значения при любом а (точнее D ≥ 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня.

О т в е т: а) нет; б) нет; в) при любом а.