VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что понимается под математической моделью текстовой задачи?

– Какие этапы решения задачи алгебраическим методом выделяют?

– В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

– Приведите примеры, когда полученное решение противоречит условию задачи.

Домашнее задание: № 560, № 562, № 565, № 567.

У р о к 2 (51) Решение задач с помощью квадратных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью составления квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение:

а) х² + 8х – 3 = 0; в) х² + 6х + 9 = 0;

б) 2х² – х + 10 = 0; г) 7х² + 2х + 5 = 0.

2. Решите уравнение:

а) х² = 1600; б) х² = 5; в) х² = ;

г) х² = 1,44; д) х² = 0; е) х² = .

III. Формирование умений и навыков.

1. № 570.

Р е ш е н и е

Пусть х – число обезьян в стае, тогда обезьян спряталось в гроте. Зная, что на виду осталась одна обезьяна, составим уравнение:

+ 1 = х;

+ 9 + 1 – х = 0;

х² – 30х + 250 – 25х = 0;

х² – 55х + 250 = 0;

D = (–55)² – 4 · 1 · 250 = 3025 – 1000 = 2025; D > 0; 2 корня.

x₁ = = 50;

x₂ = = 5 – не удовлетворяет условию задачи, так как– 3 в этом случае – отрицательное число.

О т в е т: 50 обезьян.

2. № 571.

Р е ш е н и е

– Пусть х – количество сторон в выпуклом многоугольнике, тогда (х + 25) – количество диагоналей в нём. Зная, что количество диагоналей (р) связано с количеством сторон (п) по формуле р = , составим уравнение:

х + 25 = ;

2х + 50 = х (х – 3);

2х + 50 = х² – 3х;

2х + 50 – х² + 3х = 0;

5х + 50 – х² = 0;

х² – 5х – 50 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 (–50) = 25 + 100 = 125; D > 0; 2 корня.

x₁ = = 10;

x₂ = = –5.

Так как х выражает число сторон многоугольника, то это не может быть отрицательное число, значит, х₂ = –5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: в десятиугольнике.

3. № 573.

При решении этой задачи используются элементы комбинаторики, поэтому следует разобрать её с учителем.

Р е ш е н и е

– Пусть х – количество участников турнира, тогда каждый участник играл с (х – 1) участником. Количество комбинаций равно х (х – 1). Но так как в комбинации участвует два человека, а партия одна, то число партий равно . Зная, что всего было сыграно 45 партий, составим уравнение:

= 45;

х · (х – 1) = 90;

х² – х – 90 = 0;

D = (–1)² – 4 · 1 · (–90) = 1 + 360 = 361; D > 0; 2 корня.

x₁ = = 10;

x₂ = = –9.

Так как х выражает количество участников турнира, то это не может быть отрицательное число, значит, х₂ = –9 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 10 участников.

4. № 575.

Р е ш е н и е

– Пусть х, (х + 1), (х + 2) – три последовательных целых числа. Зная, что сумма их квадратов равна 869, составим уравнение:

х² + (х + 1)² + (х + 2)² = 869;

х² + х² + 2х + 1 + х² + 4х + 4 – 869 = 0;

3х² + 6х – 864 = 0;

х² + 2х – 288 = 0;

D₁ = (–1)² – 1 · (–288) = 289; D₁ > 0; 2 корня.

x₁ = –1 + = –1 + 17 = 16;

x₂ = –1 – = –1 – 17 = –18.

Оба корня удовлетворяют условию задачи, значит, это последовательные числа 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

О т в е т: 16; 17; 18 или –18; –17; –16.