Тема 9. «Начала математического анализа»

Студент должен:

знать:

• определение числовой последовательности;

• понятие производной, ее геометрический и физический смысл;

• правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;

• уравнение касательной к графику функции в указанной точке, понятие углового коэффициента прямой;

• достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;

• определение второй производной, ее физический смысл;

• общую схему исследования функций и построения графиков с помощью производной;

• правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

• определение первообразной;

• таблицу и правила вычисления первообразных;

• понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;

• понятие криволинейной трапеции, способ вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной и определенного интеграла;

уметь:

• дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;

• вычислять значение производной функции в указанной точке;

• находить угловой коэффициент касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в указанной точке;

• применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

• находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;

• находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

• решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин;

• вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;

• вычислять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;

• вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

• находить площади криволинейных трапеций.

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности.Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Понятие о непрерывности функции.

Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.