Геометрия

1. Изобразите куб и укажите:

   1. прямые, параллельные прямой ;

   2. прямые, пересекающиеся с прямой ;

   3. прямые, скрещивающиеся с прямой ;

   4. плоскость, параллельную плоскости.

2. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:

   1. пересекаться;

   2. быть параллельными;

   3. быть скрещивающимися?

3. Через точку пересечения диагоналей прямоугольникапроведена прямая, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Найдите длину отрезка, если, ,.

4. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми . Найдите наклонную и её проекцию на плоскость, если длина перпендикуляра 5 см.

5. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 7, 9 и .

6. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

7. Основанием прямой призмы является равносторонний треугольник со стороной 6 см. Высота призмы равна 4 см. Найдите площадь поверхности призмы.

8. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна , а радиус описанной около основания окружности равен. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

9. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, проходящей:

   1. через две образующие;

   2. через некоторую точку поверхности перпендикулярно оси?

10. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей:

    1. через ось конуса;

    2. через точку поверхности перпендикулярно оси;

    3. через две образующие?

11. Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 3 м и диаметром 40 см, если на швы необходимо добавить 2% площади её боковой поверхности?

12. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 10 см²,а площадь основания равна 6 см².

13. Игрушечное ведёрко имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 7 см и 13 см, а образующая равна 10 см. Найдите:

    1. высоту ведёрка;

    2. массу краски, необходимой для окраски этого ведёрка с обеих сторон, если на окраску 1 см²требуется 0,2 г краски.

14. Площадь сечения сферы, проходящего через её центр равна 7 дм². Найдите площадь поверхности сферы.

15. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 12 см и составляет угол с плоскостью основания ис ребром основания. Найдите объём параллелепипеда.

16. Найдите объём правильной треугольной пирамиды:

    1. высота которой 10 см, а сторона основания 6 см;

    2. апофема которой равна 8 см и составляет с плоскостью основания.

17. Какова вместимость цистерны, имеющей форму цилиндра с диаметром 4 м и длиной 10 м?

18. Найдите объём конуса, имеющего высоту h, равную диаметру основания.

19. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 10 см и 18 см, апофема равна 5 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

20. Найдите массу метеорита, имеющего форму шара радиуса 1 м, если плотность составляющего её вещества равна 3 г/см³.