1.2.1. Обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова

Матрица Q(t) инфинитезимальных характеристик q_ij(t), i, j ϵ X позволяет найти вероятности p_ij(s,t) для любых s<t. Рассмотрим уравнение Чепмена-Колмогорова

.

Из обеих частей этого уравнения вычтем p_ij(s,t) и разделим на Δs, получим

Выполнив здесь предельный переход при Δs → 0, запишем

. (5)

Эта система уравнений называется обратной системой дифференциальных уравнений Колмогорова.

Для однородных цепей Маркова она примет вид

. (6)

Совместно с начальными условиями

(7)

система уравнений (6) однозначно определяет вероятности переходов однородной цепи Маркова.

Для неоднородных цепей Маркова краевые условия для системы (5) заданы на правой границе s=t области изменения переменной s и определяются условием стохастической непрерывности процесса аналогично (7) в виде

Обратная система уравнений применяется, главным образом, для нахождения значений функционалов от цепей Маркова следующего вида

.

Домножив уравнения системы (5) на f(j), и суммируя их по j, получим равенство

,

которое является системой дифференциальных уравнений относительно значений функционала u(i,s).