1.3. Финальные вероятности

Можно показать, что для однородной неразложимой цепи Маркова с конечным числом состояний существует предел

,

не зависящий от i, который называется финальной вероятностью j-го состояния, а их совокупность финальным распределением.

Доказано, что в этих условиях существуют пределы

,

поэтому при t → ∞ систему (9) можно записать в виде

. (10)

Естественно, что финальное распределение удовлетворяет условию нормировки

. (11)

Если для однородной цепи Маркова для системы дифференциальных уравнений в качестве начального распределения q_i(s) выбрать финальное π_i, то решение P_i(t) этой системы совпадает с финальным распределением, то есть для любых t ≥ s выполняется равенство

P_i(t) ≡ π_i .