5.2.2. Асимптотика второго порядка

В уравнении (19) выполним замену

H(z,u,t) = H₂(z,u,t) exp{juλt},

тогда для H₂(z,u,t) получим уравнение

. (25)

Обозначив ε² = 1/ T, в этом уравнении выполним замены

ε² t = τ, u = εw, H₂(z,u, t) = F₂ (z,w, τ, ε), (26)

получим

.(27)

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 4. Предельное при 0 значение F₂(z,w,) решения F₂(z,w,,) уравнения (27) имеет вид

, (28)

где параметр имеет вид

, (29)

а вектор функция f₂(z) является таким решением уравнения

, (30)

которое удовлетворяет условию f₂(∞)E = 0.

Доказательство

Этап 1. В уравнении (27) выполним предельный переход при 0, получим уравнение

, (31)

решение F₂(z,w,) которого имеет вид

F₂ (z,w,τ) = R(z) Φ₂ (w, τ). (32)

Этап 2. Решение F₂ (z,w,τ,ε) уравнения (27) найдём в виде разложения

, (33)

в котором вектор функция f₂(z) удовлетворяет условию f₂(∞)E = 0.

Подставляя это разложение в (27), получим равенство

(34)

в котором

,

поэтому при 0 равенство (34) можно переписать в виде уравнения

относительно неизвестной вектор функции f₂(z). Полученное уравнение совпадает с (30).

Этап 3. Для нахождения скалярной функции Φ₂ (w, τ), определяющей в (28) вектор функцию F₂ (z, w, τ), в уравнении (27) выполним предельный переход при z →∞ и суммирование компонент вектор функций, получим равенство

.

В это равенство подставим разложение (33), запишем

.

Выполнив здесь несложные преобразования, при 0 получим уравнение

,

где применено равенство .

Решение Φ₂ (w, τ) полученного уравнения, удовлетворяющее начальному условию Φ₂ (w, 0) = 1, имеет вид

, (35)

в котором значение параметра κ₂ определяется равенством

,

совпадающим с (29).

Подставляя (35) в (32), получим равенство (28).

Теорема доказана.

В силу равенства

H(z,u,t) = H₂(z,u,t) exp{juλt},

замены (26) и равенства (28) можно записать приближённое (асимптотическое) равенство

. (36)

Полученное равенство будем называть асимптотикой второго порядка для SM-потока, вид которого совпадает с (18) для MAP-потока.

Достаточно очевидно, что совершенно аналогично можно найти асимптотики более высокого порядка для SM-потока.