5.4.1. Асимптотика первого порядка

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 5. Предельное при ε→0 значение F₁(k,u,t) решения F₁(k,u,t,) задачи (43) имеет вид

F₁(k,u,t) = R(k)exp{λ_k(e^ju – 1)t}. (44)

Доказательство.

В задаче (43) выполним предельный переход при ε→0, получим равенства

которые представляют собой совокупность по всем k независимых задач Коши, каждая из которых имеет следующее решение

F₁(k,u,t) = R(k)exp{λ_k(e^ju – 1)t}.

совпадающее с (43).

Теорема доказана.

Следствие. В условии предельно редких изменений состояний MMP-потока распределение вероятностей P₁ (m,t) числа m(t) событий потока, наступивших за время t, является взвешенной с весами R(k) суммой пуассоновских распределений с параметрами λ_kt, то есть имеет вид

(45)

Доказательство.

Так как для характеристической функции величины m(t) можно записать равенство

то при ε→0 в силу (42) и (44) имеет место приближённое (асимптотическое) равенство

из которого следует равенство (45).

Следствие доказано.

Равенство (44) будем называть асимптотикой первого порядка в условиях предельно редких изменений состояний MMP-потока.

Равенство (45) будем называть аппроксимацией первого порядка допредельного распределения в асимптотическом условии предельно редких изменений состояний MMP-потока.