4.6. Метод характеристических функций для анализа потоков

Определим функции

где – мнимая единица.

Для таких функций, очевидно, можно записать

Из систем (4 – 8), можно получить системы уравнений для функций H(k, u, t).

Для MMP-потока

.

Для синхронного MAP-потока

.

Для общего MAP-потока

Аналогично MMP и MAP-потокам для рекуррентного и полумарковского потоков определим функции

,

тогда из уравнений (9) –(11) для функций H(k, z, u, t) получим уравнения.

Для рекуррентного потока

.

Для потока марковского восстановления

.

Для полумарковского потока

.

Системы уравнений для функций H(k, u, t), H(k, z, u, t) и H(s, z, u, t) запишем в матричном виде, обозначив векторы

H(u, t) = {H(1, u, t), H(2, u, t), …},

H(z, u, t) = {H(1, z, u, t), H(2, z, u, t), …},

и матрицы:

Q – матрица инфинитезимальных характеристик q_νk,

I – единичная диагональная матрица,

Λ– диагональная матрица с элементами λ_k по главной диагонали,

B – матрица из элементов d_νk q_νk при ν ≠ k и λ_k при ν = k,

P – матрица переходных вероятностей вложенной цепи Маркова для потока марковского восстановления и полумарковского потока,

D(x) – диагональная матрица с элементами A_k(x) по главной диагонали для потока марковского восстановления,

A(x) – полумарковская матрица для полумарковского потока.

Для MMP-потока

.

Для MAP-потока

.