4.7.2. Решение уравнения (12) методом матричной экспоненты

Однородную систему линейных дифференциальных уравнений (12) с постоянными коэффициентами можно также решать методом матричной экспоненты, поэтому имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Распределение вероятностей

P(m, t) = P(m(t) = m).

числа событий, наступивших в MAP-потоке за время t, определяется следующим равенством

, (20)

где _n(u) – собственные числа матрицы Q – (e^ju – 1)B.

Доказательство.

Решение системы (12), удовлетворяющее начальному условию (13), можно записать в виде произведения начального вектора R и матричной экспоненты

. (21)

Значения матричной экспоненты можно определять либо суммой матричного ряда, либо применяя формулу Сильвестра, которая в общем виде записывается следующим образом

,

где _n – собственные числа матрицы A.

Применяя формулу Сильвестра к матричной экспоненте в равенстве (21), получим равенство

,

определяющее скалярную характеристическую функцию

h(u, t) = Me^jum(t) = H(u, t)E

числа событий, наступивших в потоке за время t

.

Применяя к этой характеристической функции обратное преобразование Фурье по переменной u, получим равенство (20).

Теорема доказана.