2.3. Варианты пуассоновского потока событий

А) Стационарный пуассоновский поток(простейший)

Если λ(t) = λ = const, то получившийся поток будет стационарным пуассоновским потоком. Для него Λ(t₀ ,t) = λ (t – t₀) и

. (11)

Выведем еще несколько формул, касающихся этого потока.

А.1. Плотность вероятностей для длин интервалов между моментами наступления событий простейшего потока.

Пусть τ = t_k – t_k-1 есть длина интервала между моментами наступления событий. Обозначая его плотность вероятностей через можно записать

p(τ) = λe^-λτ, τ ≥ 0.

А.2. Отсутствие последействия

Найдем P{τ > x + t | τ > t}. Смысл этой вероятности – это вероятность того, что новое событие потока не наступит еще в течении времени , если известно, что оно уже не наступило в течении времени .

Имеем

.

Здесь использовано то, что событие { τ > x + t ˄ τ > t } = { τ > x + t }. Таким образом, независимо от того, что событие не наступило в течении времени t, оставшееся до его наступления время распределено по тому же закону, что и исходное время между событиями, независимо от того, какое время t прошло. В этом и проявляется отсутствие последействия в пуассоновском потоке.

А.3. Условная равномерность наступления событий

Пусть мы имеем временной интервал длительности T. Пусть t₁, t₂, …, t_n есть моменты наступления событий на этом интервале. Тогда формула (10) примет вид

p_n (t₁, t₂, …, t_n) = λⁿe^-λT.

Так как вероятность наступления n событий на интервале [0,T] равна (λT)ⁿe^-λT/n!, то условная плотность вероятностей моментов наступления событий t₁, t₂, …, t_n при условии, что их наступило ровно n, равна

p_n (t₁, t₂, …, t_n | n)/ Tⁿ,

и она не зависит ни от , ни от , , …, . Это говорит о том, что в данном случае , , …, распределены равномерно по интервалу (с учетом их упорядочивания, естественно; это упорядочивание проявляется в сомножителе ).

Б) Эрланговский поток k-го порядка

Предположим, что в исходном пуассоновском потоке постоянной интенсивности λ после наступления какого-то события следующие (k – 1) событие пропадают и появляется только k-е по счету событие. Получающийся поток называется эрланговским потоком k-го порядка.

Пусть p_k (τ) есть плотность вероятностей длин интервалов между моментами наступления событий в таком потоке. Тогда

,

так как на интервале (0,τ) наступило (хоть и пропали) k – 1 событие, а на интервале [τ,τ + dτ] ровно одно (-е по счету). Поэтому

.

В получившейся формуле обычно заменяют λ на kλ, чтобы сохранить за λ смысл интенсивности потока, и пишут p_k (τ) в виде

. (12)

Эрланговский поток можно интерпретировать еще и так: каждое событие, прежде чем появится на свет, должно пройти k фаз, каждая из которых имеет длительность, распределенную с плотностью вероятностей p(τ) = (λk)e^-λkτ, т.е. распределенной по экспоненциальному закону.

Поток называется гиперэрланговским, если p(τ) имеет вид

, (13)

где все C_k ≥ 0 и .

В) Пуассоновский неординарный поток

Рассмотрим поток событий, в котором выполняется свойства стационарности и отсутствия последействия, но не выполняется свойство ординарности.

Пусть события появляются в моменты t₁ , t₂ , t₃,… «пачками», так что в момент t_k появляются сразу η_k событий. Будем считать, что η_k есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением

P{ η_k = n} = f_n.

Такой поток называется простым (или пуассоновским) неординарным (или групповым) потоком однородных событий.

Найдем распределение P_k (t) числа событий потока наступивших на интервале длиной t. Пусть ν_t – число событий наступивших на этом интервале, и N_t – число моментов времени, в которые наступали группы событий, то есть

N_t = max {n: 0 < t_n < t}.

Тогда . Введем производящую функцию

,

так как все независимы и одинаково распределены. Введем функцию

,

имеющую смысл производящей функции числа событий в группе. Тогда

. (14)

Вероятности P_k (t) в принципе можно определить из формул

, .

Найдем еще среднее число событий, наступивших на интервале (0, t). Имеем

,

где . Отсюда интенсивность такого потока равна

,

где – среднее число событий в группе. Смысл этой формулы очевиден.

Г) Простой поток разнотипных событий

Пусть {t_n} моменты, образующие пуассоновский поток событий интенсивности λ, а σ_n – независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения из множества целых чисел {1, 2,…,k}.

Если σ_n = σ(t_n) = i, то в момент t_n происходит событие типа i. Обозначая p_i {σ_n = i} мы получим простой поток разнотипных событий.

Обозначая через ν_i (t) – число событий типа i на интервале (0,t) определим производящую функцию

.

Для вычисления явного вида этой функции введем величины

Тогда и мы имеем

,

где учтено, что в разные моменты времени величины σ_n независимы и одинаково распределены. Так как σ_ni принимают значения 0 или 1 и значение 1 принимают только одна из них, то

.

Поэтому

. (15)

Отсюда следует, что ν_i (t) есть независимые пуассоновские потоки событий с параметрами λp_i, и мы наблюдаем сумму (суперпозицию) этих потоков.