2.5. Распределение величины перескока и недоскока для потоков восстановления

Рассмотрим некоторый произвольный момент времени t в потоке восстановления, который окружают моменты t_n и t_n+1 наступления событий потока. Величина t_n+1 – t = γ(t) называется временем (или величиной) перескока, а величина γ^* = t – t_n – величиной недоскока (см. рис. 2).

0 t

Рис.2. Перескок и недоскок

Для процесса γ(t), характеризующего величину перескока, обозначим

P(γ(t) < x) = F(t ,x),

тогда

F(t + Δt, x) = F(t, x + Δt) – F(t, Δt) + F(t, Δt)A(x) + ο(Δt).

Разложим функцию F по приращению аргументов в ряд Тейлора с точностью до ο(Δt):

.

Уничтожая F(t, x) в обеих частях и сокращая на Δt, получим

.

В стационарном режиме , тогда , следовательно

,

полагая x → ∞, получим

,

откуда

F´(0) =1/a = λ.

Таким образом, функция распределения F(x) величины перескока имеет вид

.

Для процесса γ*(t), характеризующего величину недоскока, обозначим

P(γ*(t) < x) = G(t, x),

P(x ≤ γ*(t) < x + dx) = g(t, x)dx,

тогда

,

и следовательно

.

В стационарном режиме g(t, x) ≡ g(x), поэтому g(x) удовлетворяет уравнению

,

решение которого имеет вид

g(x) = C(1 – A(x)).

Интегрируя это равенство по в интервале , получим

,

откуда следует, что

C =1/a = λ.

Таким образом

g(x) = λ(1 – A(x)),

а для функции распределения G(x) величины недоскока можно записать

.