5.2.1. Асимптотика первого порядка

Обозначив ε = 1/ T, в уравнении (19) выполним замены

εt = τ, u = εw, H(z,u, t) = F₁ (z,w, τ, ε), (21)

получим

. (22)

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Предельное при 0 значение F₁(z,w,) решения F₁(z,w,,) уравнения (22) имеет вид

F₁(z,w,) = R(z) exp{jwλτ}, (23)

где параметр λ и вектор функция R(z) определены выше.

Доказательство

В уравнении (22) выполним предельный переход при ε→0, получим, что F₁(z,w,) является решением уравнения

,

совпадающим с уравнением для R(z), поэтому F₁(z,w,) имеет вид

F₁(z,w,) = R(z)Φ₁(w,τ), (24)

где R(z) – вектор функция стационарного распределения вероятностей значений двумерного случайного процесса {s(t), z(t)}, найденная выше, а скалярную функцию Φ₁(w,τ) определим следующим образом.

Для нахождения маргинального распределения (20) в трёхмерном распределении необходимо выполнить предельный переход при z→∞ и суммирование по s. Выполним эти операции в уравнении (22), получим равенство

.

Поделив левую и правую части этого равенства на ε и полагая ε →∞, получим

.

Подставляя сюда произведение (24), для функции Φ₁(w,τ) получим уравнение

,

решение которого, удовлетворяющее начальному условию Φ₁(w,0) = 1 имеет вид

Φ₁(w,τ) = exp{jwλτ}.

Подставляя это выражение в (24), получим (23), что доказывает сформулированную теорему.

В силу замены (21) и равенства (23) можно записать приближённое (асимптотическое) равенство

h₁ (u,t) = Me ^jum(t) = exp{juλt}.

Полученное равенство будем называть асимптотикой первого порядка для SM-потока.