4.5.2. Потоки с непрерывной компонентой

Рассмотрим потоки с непрерывной компонентой.

1. Для исследования рекуррентного потока определим процесс z(t) как длину интервала от момента t до момента t_n+1 наступления следующего события в рассматриваемом потоке.

Для рекуррентного потока двумерный случайный процесс {z(t), m(t)} является марковским, поэтому для его распределения вероятностей

P(z, m, t) = P{z(t) < z, m(t) = m}

по формуле полной вероятности нетрудно получить равенство

P(z – Δt, m, t + Δt) = P(z, m, t) – P(Δt, m, t) + P(Δt, m – 1, t)A(z) + ο(Δt),

из которого следует, что распределение P(z, m, t) является решением уравнения Колмогорова

. (9)

Равенство, определяющее уравнение (9) получено следующим образом.

Для его левой части запишем

P(z – Δt, m, t + Δt) = P{z(t + Δt) z– Δt, m(t + Δt) = m) = P{A}.

Относительно случайного события A, рассматриваемого в момент времени t + Δt сформулируем две гипотезы, реализуемые в момент времени t:

H₁ = {ω: Δt ≤ z(t) < z, m(t) = m},

H₂ = {ω: Δt ≤ z(t), m(t) = m – 1},

для которых

P{A|H₁} = 1, P{A|H₂} = A(z) + ο(Δt),

здесь при выполнении второй гипотезы остаточная длина z(t + Δt) интервала отличается от полной длины на бесконечно-малую порядка Δt, так как событие потока наступило в интервале [t, t + Δt). Эти две гипотезы образуют не полную группу событий, но в формуле полной вероятности слагаемые, соответствующие другим гипотезам дают бесконечно-малую ο(Δt).

2. Для потока марковского восстановления двумерный процесс {z(t), m(t)} является немарковским, поэтому определим ещё один случайный процесс так, что бы составленный трёхмерный процесс стал марковским.

Определим случайный процесс k(t) равенством

k(t) = ξ(n), t_n ≤ t < t_n+1,

то есть процесс k(t) на интервале t_n ≤ t < t_n+1 сохраняет то значение, которое он получил в начале этого интервала и которое совпадает со значением ξ(n) вложенной цепи Маркова. Отметим, что реализации процесса k(t) непрерывны справа.

Для потока марковского восстановления трёхмерный процесс {k(t), z(t), m(t)} является марковским, поэтому для его распределения вероятностей

P(k, z, m, t) = P{k(t) = k, z(t) < z, m(t) = m}

по формуле полной вероятности нетрудно получить равенство

из которого следует, что распределение вероятностей P(k, z, m, t) является решением уравнения Колмогорова

. (10)

3. Для полумарковского потока, заданного полумарковской матрицей A(z), предложенный выше трёхмерный случайный процесс {k(t), z(t), m(t)}, будет немарковским, поэтому вместо процесса k(t) определим процесс s(t) следующим образом

s(t) = ξ(n + 1), … t_n < t ≤ t_n+1,

то есть процесс s(t) на интервале t_n < t ≤ t_n+1 принимает и сохраняет то значение ξ(n + 1), которое вложенная цепь Маркова примет в конце рассматриваемого интервала. Отметим, что реализации процесса s(t) непрерывны слева. Для полумарковского потока трёхмерный случайный процесс {s(t), z(t), m(t)} будет марковским, поэтому для его распределение вероятностей

P(s, z, m, t) = P{s(t) = s, z(t) < z, m(t) = m}

по формуле полной вероятности нетрудно получить равенство

,

из которого следует, что распределение вероятностей P(s, z, m, t) является решением уравнения Колмогорова

. (11)