Нахождение распределения r(z)

Докажем следующее утверждение.

Лемма. Распределение вероятностей R(z) определяется равенством

, (23)

где производная в нуле имеет вид

, (24)

здесь распределение вероятностей r является решение системы уравнений

r = rP, rE = 1, (25)

а величина  определяется равенством

. (26)

Доказательство.

Так как для R(z) выполняется также тождество

R(z) ≡ H(z, 0. t),

то вектор R(z) является решением, полученного из (22), уравнения

,

поэтому его можно записать в виде

,

совпадающем с (23). Здесь необходимо найти вектор .

Так как компоненты R(s, z) вектора R(z) по определению равны

R(s, z) = P{s(t) = s, z(t) < z},

то

R = R(∞) = {P[s(t) = s]},

поэтому из (23) получим

. (27)

В силу необходимого условия сходимости несобственного интеграла можно записать равенство нулю подынтегрального выражения при x →∞, получим систему уравнений

(28)

для компонент вектора , здесь P = A(∞).

Так как систему (28) совпадает с системой уравнений Колмогорова для стационарного распределения вероятностей r значений вложенной цепи Маркова, то выполняется равенство

,

совпадающее с (24), где λ – некоторая мультипликативная постоянная, значение которой найдём следующим образом.

Подставляя (24) в (27), получим

,

здесь использовано равенство r = rP.

Так как в силу условия нормировки RE = 1, то получаем равенство

,

совпадающее с (26).

Лемма доказана.

Отметим, что F(x) является функцией распределения длин интервалов SM-потока.