4.7.4. Решение основного уравнения для полумарковского потока

Теперь можно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Распределение вероятностей

P(m, t) = P(m(t) = m).

числа событий, наступивших в SM-потоке за время t, определяется следующими равенствами

,

. (29)

Доказательство

Преобразование Фурье-Стилтьеса по переменной z от вектор функции H(z, u, t) обозначим

,

тогда

.

Обозначим также

,

Выполнив преобразование Фурье-Стилтьеса по переменной z правой и левой частей уравнения (22), получим уравнение

относительно вектор функции Φ(α, u, t) и начальные условия Φ(α, u, t) = R*( α).

Решение этой задачи Коши имеет вид

, (30)

в котором необходимо определить вектор . Выполним это следующим образом.

Так как при 0 < |u| < π

,

то из (30) можно записать равенство

,

из которого получим, что преобразование Фурье по переменной t от вектор функции имеет вид

,

следовательно, для обратного по переменной преобразования получим

. (31)

Подставляя найденное выражение для вектора в (30) получим явное выражение для Φ(α, u, t).

Так как целью наших исследований является нахождение лишь маргинального распределения вероятностей

,

то, выполним в найденных векторах предельный по переход и покомпонентное суммирование.

Из определения вектора

и равенств (30) и (31) получим

.

Суммируя компоненты найденного вектора, получим

. (32)

Используя равенства (24) и (25), найдём R*(α)

.

Подставляя это выражение в (26), для характеристической функции числа событий, наступивших за время в полумарковском потоке, получим

. (33)

Так как

,

то, раскладывая функцию h(u, t) из (32) по степеням функции e^ju, для вероятностей P(m, t) получим равенства

,

,

совпадающие с (29). Здесь очередной раз использовано равенство r = rP.

Теорема доказана