5.1.2. Асимптотика второго порядка

В основном для анализа MAP-потоков уравнении, выполним замену

, (7)

тогда получим уравнение для H₂ (u, t) в виде

(8)

здесь I – диагональная единичная матрица.

Обозначив ε² = 1/T, в уравнении (8) выполним замены

ε² t = τ, u = εw, H₂(u, t) = F₂ (w, τ, ε), (9)

получим

(10)

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Предельное при 0 значение F₂ (w,τ) решения F₂(w,,) уравнения (10) имеет вид

, (11)

где величина определяется равенством

κ₂ = RBE + 2f₂(B – λI)E = λ + 2f₂(B – λI)E, (12)

здесь вектор f₂ удовлетворяет условию f₂E = 0 и является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

f₂Q + R(B – λI) = 0. (13)

Доказательство.

Доказательство этой теоремы выполним в три этапа.

Этап 1. В уравнении (10) выполним предельный переход при 0, получим уравнение

F₂ (w,τ)Q = 0,

решение F₂ (w,τ) которого имеет вид

F₂ (w,τ) = R Φ₂ (w,τ), (14)

совпадающей с (5).

Этап 2. Решение F₂(w,,) уравнения (10) запишем в виде разложения

F₂(w,,) = Φ₂ (w,τ){R + jεwf₂} + Ο(ε²) (15)

Подставляя (15) в (10), можно записать

Ο(ε²) = Φ₂ (w,τ){ R + jεwf₂}{Q + jεw(B – λI)} =

= Φ₂ (w,τ){RQ + jεwf₂Q + jεw(B – λI)}.

Так как выполняется равенствоRQ = 0 то вектор f₂ является решением системы (13).

Этап 3. Для нахождения скалярной функции Φ₂ (w,τ), определяющей в равенстве (14) вектор функцию F₂ (w,τ), просуммируем все уравнения системы (10), получим равенство

.

В это равенство подставим разложение (15), запишем

.

В силу равенства (4) R(B – λI)E = 0 поэтому при 0 последнее равенство примет вид

.

В силу полученного уравнения и равенства (12), это уравнение перепишем в виде

,

следовательно, его решение Φ₂ (w,τ), удовлетворяющее начальному условию Φ₂ (w,0) = 1 определяется равенством

. (16)

Подставляя это выражение Φ₂ (w,τ) в (15), получим равенство (11).

Теорема доказана.

В силу замены (9) и равенства (11) для функции H₂ (u,t) можно записать приближённое (асимптотическое) равенство

, (17)

из которого, в силу (7) , получим

. (18)

Это равенство будем называть асимптотикой второго порядка.

Совершенно аналогично определяются асимптотики более высокого порядка.