2.4. Потоки восстановления

Пусть на временной оси некоторый момент времени выбран за 0 и пусть t₁, t₂, t₃,…> 0 – моменты наступления событий (см. рис. 1)

0

Рис. 1 Поток событий

Обозначим τ₁ = t₁, τ_n = t_n – t_n-1 – длины интервалов между моментами наступления событий. Отметим принципиальное отличие τ₁ от всех остальных τ_n: если τ_n , n ≥ 2 отсчитываются от момента наступления предыдущего события потока, то τ₁ отсчитывается от нуля на оси времени, никакого отношения к потоку не имеющего.

Случайный поток называется потоком с ограниченным последействием, если – независимые случайные величины.

Смысл слов «ограниченное последействие» следующий: будущее поведение потока после момента времени t, t_n < t < t_n+1, зависит лишь от конечной величины (t – t_n), а от остального прошлого не зависит.

Для описания потока с ограниченным последействием достаточно задать функции распределения A_k (x) = P{ τ_k < x}, k ≥ 1.

Поток с ограниченным последействием, для которого A_k (x) = A(x) для k ≥ 2 (заметьте: A₁ (x) это не касается) называется процессом восстановления. В последнем случае вместо слов «наступило событие потока», часто говорят «наступило восстановление».

Пусть N_t – число событий, наступивших на интервале (0,t). Функция H(t) = M{N_t} называется функцией восстановления. Функция h(t) = H´(t), если она существует, называется плотностью восстановления. По смыслу h(t)dt (или dH(t)) есть вероятность того, что на интервале [t, t + dt] наступит событие потока. (интенсивность равна параметру потока)

Выведем теперь одно из основных уравнений – уравнение для H(t). Имеем

P{N_t = n} = P{t_n < t, t_n+1 ≥ t}.

Но, с другой стороны

P{t_n < t} = P{t_n+1 < t} + P{t_n < t, t_n+1 > t },

откуда

P{t_n < t, t_n+1 > t } = P{t_n < t} – P{t_n+1 < t}.

Поэтому для H(t) = M{N_t} имеем

.

Так как t_n = τ₁ + τ₂ + τ₃ …+ τ_n, то

P{t₁ < t} = F₁ (t) = A₁ (t),

,

,

……………………………………………………..

.

Поэтому

.

Итак, функция восстановления удовлетворяет интегральному уравнению

. (16)

Решить его можно через преобразования Лапласа-Стилтьеса. Действительно, применяя это преобразование к обеим частям уравнения, получим

,

откуда

. (17)

Зная A^*(s) и , отсюда находится H^*(s), а по таблицам обратного преобразования Лапласа-Стилтьеса и H(t).

Пример

Пусть A(x) = 1 – e^-λx, A₁(x) = 1 – e^-µx. Тогда

,

.

Поэтому

,

и отсюда

.

Рассмотрим теперь некоторые следствия из уравнения (16) и его решения (17)

1. Пусть и λ = 1/a. Заметим, что A^*(0) = A(∞) – A(0) = 1.

Тогда

,

то есть при t →∞ ведет себя как λt.

2. Пусть Q(t) – неотрицательная интегрируемая на (0,∞) функция. Тогда по свойствам преобразования Лапласа-Стилтьеса

.

По свойствам преобразования Лапласа-Стилтьеса

Окончательно

, . (18)

Эта формула называется основной теоремой теории восстановления.