3.2.1. Метод дополнительной переменно для исследования процесса марковского восстановления

Пусть для процесса марковского восстановления k(t), заданного стохастической матрицей Р и набором функций распределения A_k(x), требуется найти стационарное распределение вероятностей P(k) = P{k(t) = k}.

В силу того, что процесс k(t) марковским не является, определим случайный процесс z(t) – длину интервала от момента t до момента очередного отказа (замены элемента). Тогда двумерный процесс {k(t), z(t)} является марковским, поэтому для его распределения вероятностей

P(k,z,t) = P{k(t) = k, z(t) < z}

можно записать следующие равенства

Здесь разность P(k,z,t) – P(k,Δt,t) характеризует то, что за время Δt процесс k(t) не изменил состояния, а величина z(t) лежит в интервале от Δt до z, сумма показывает, что за время Δt процесс k(t) перешел из состояния v ≠ k в состояние k.

Последнее равенство перепишем в виде

Разделим левую и правую части на Δt

,

где

.

Тогда получим равенство

которое для стационарного распределения P(k,z,t) = P(k,z) перепишем в виде

Интегрируя левую и правую части этого равенства, получим

.

В силу условия согласованности вероятностных распределений, одномерное распределение Р(k) запишем следующим образом

. (7)

Так как подынтегральная функция является монотонной, то можно записать следующее равенство

которое совпадает с системой уравнений Колмогорова

для стационарного распределения вероятностей r(k) состояний вложенной цепи Маркова (n), поэтому

(8)

Мультипликативную постоянную C найдём из условия нормировки. Применяя равенство (8), перепишем (7)

где a_k – среднее значение срока службы элемента вида k. Таким образом

P(k) = C r(k) a_k

а в силу условия нормировки запишем

откуда получим

следовательно, стационарное распределение вероятностей P(k) значений процесса марковского восстановления k(t) имеет вид

(9)

где a_k – среднее значение срока службы элемента вида k

r(k) – стационарное распределение вероятностей состояний вложенной цепи Маркова (n).