2.6. Парадокс остаточного времени

Пусть поток трамваев есть поток событий восстановления с функцией распределения интервалов между трамваями A(x). В случайный момент времени t человек приходит на остановку. Сколько в среднем времени ему ждать трамвая?

1. Первое решение Так как в среднем длина интервала времени между трамваями равна и человек приходит совершенно произвольно, то ему ждать в среднем a/2.

2. Второе решение Время ожидания трамвая – это время перескока, распределенное с функцией распределения , т.е. с плотностью вероятностей . Поэтому ждать ему в среднем

. (19)

Как видно, два решения дали два разных результата, причем второе решение дает большее среднее время ожидания, чем первое. Какой же результат верен?

Верен второй результат. Разгадка в том, что промежутки времени между приходами трамваев разные и приходя в произвольный момент времени человек с большей вероятностью попадает на более длинный промежуток времени между трамваями, чем на более короткий.