5.4. Метод асимптотического анализа mmp-потоков в условии предельно редких изменений состояний потока

Как было указано выше, MMP-поток определяется набором неотрицательных величин λ_k и цепью Маркова k(t), заданной матрицей Q её инфинитезимальных характеристик.

Значения цепи Маркова k(t) = k, определяющие условные интенсивности λ_k наступления событий в потоке, будем называть состояниями MMP-потока.

Значения инфинитезимальных характеристик q_kk определяют продолжительности времени пребывания потока в k-ом состоянии.

В системе уравнений для MMP-потока обозначим получим систему

. (40)

Выше было рассмотрено асимптотическое условие растущего времени t = Tτ, при T →∞.

В этом разделе рассмотрим асимптотическое условие предельно редких изменений состояний MMP-потока, формализуя которое, положим при ε→0. При выполнении этого условия продолжительность времени пребывания потока в k-ом состоянии неограниченно возрастает, что оправдывает название рассматриваемого асимптотического условия.

Систему (1.67) перепишем в виде

(41)

Будем полагать, что для решения H(k,u,t) этой системы выполняются начальные условия

H(k,u,0) = R(k),

где значения R(k) определены выше.

Решение H(k,u,t) системы (1.68), зависящее от малого параметра ε, обозначим

H(k,u,t) = F(k,u,t,ε) (42)

тогда для F(k,u,t,ε) получаем следующую задачу Коши

(43)

Эту задачу будем решать в асимптотическом условии ε→0