14.Предел последовательности комплексных чисел.
Определение
Число называетсяпределом числовой последовательности , если последовательностьявляется бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называютсходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Обозначения
Тот факт, что последовательность сходится к числуобозначается одним из следующих способов:
Свойства
Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]
Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точкамножества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.
Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.
Свойства
Арифметические свойства
Операторвзятия предела числовой последовательности являетсялинейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
Аддитивность. Пределсуммычисловых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
Однородность.Константуможно выносить из-под знака предела.
Предел произведения числовых последовательностей факторизуетсяна произведение пределов, если каждый из них существует.
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
Свойства сохранения порядка
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах(принцип двустороннего ограничения).
Другие свойства
Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некоторомотрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.
У возрастающейограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
Имеет место теорема Штольца.
Если у последовательности существует предел, то последовательностьсредних арифметическихимеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).
Если у последовательности чисел существует предел, и если задана функция, определенная для каждогои непрерывная в точке, то
Примеры
Случай комплексных чисел
Комплексное числоназываетсяпределом последовательности , если для любого положительного числаможно указать такой номер, начиная с которого все элементыэтой последовательности удовлетворяют неравенствупри
Последовательность , имеющая предел, называется сходящейся к числу, что записывается в виде.
Примеры
Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чиселсо стандартной топологией, а в качествепоследовательность, то у неё не будет предела (однако у неё можно найтиверхнийинижнийпределы,, то есть пределы её подпоследовательностей —частичные пределы).
- I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- 1. Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.
- 2. Два определения скалярного произведения.
- 3. Прямая на плоскости и различные формы ее представления.
- 4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- 5. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- 6. Декартовы координаты в пространстве. Задача о делении отрезка в данном отношении.
- 7. Операции над векторами в пространстве.
- 8. Векторное произведение и его свойства
- 9.Смешанное произведение и его свойства
- 11.Расстояние от точки до плоскости.
- 16. Расстояние между прямой и плоскостью, между двумя прямыми
- 17.. Системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические).
- II. Линейная алгебра}
- 1.Матрица,примеры и операции над матрицей.
- 2. Алгебра матриц (сложение, умножение на число, умножение матриц, линейная комбинация, транспонирование)
- 3. Подстановки, транспозиции и их свойства.
- 4 Определитель матрицы. Примеры применения.
- 5.Свойства определителя
- 6.Свойства определителей
- 1)Обратная матрица
- 2)Теорема об определителе произведения матриц
- 9. Методы обращения матрицы.
- 10. Ранг матрицы и его свойства.
- 11. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
- 12. Линейная зависимость векторов. Базис n - мерного пространства
- 13. Системы линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- 14Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- 15. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- 16.Ортонормированные системы векторов и их свойства
- 17 Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- 18. Матрица линейного преобразования координат.
- 20. Классификация кривых второго порядка.
- 21. Классификация поверхностей второго порядка.
- III. Дифференциальное исчисление
- 2.Последовательности.
- 3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- 5. Свойства пределов последовательности, связанные с арифметическими операциями.
- 6.Предел функции. Свойства предела функции в точке
- 7Основные теоремы о пределах. Арифметические операции над пределами.
- 8.Первый замечательный предел
- 9.Второй замечательный предел
- 10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых.
- 11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
- Комментарии
- Точки разрыва
- Устранимые точки разрыва
- [Править] Точки разрыва первого и второго рода
- Свойства Локальные
- [Править] Глобальные
- 12. Асимптоты вертикальные и горизонтальные.
- 13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- 14.Предел последовательности комплексных чисел.
- 15.Непрерывность сложных и обратных функций
- 17.Непрерывность функции на отрезке
- 18. Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Сделай пожалуста и этот вопрос.
- 19.Свойства производной функции.
- 23. Производные высших порядков
- 24.Теорема Ролля.
- Доказательство
- Следствия
- 1. Теорема Ролля
- 27. Формула Тейлора.
- 28. Применение производной для исследования монотонности функции.
- 29. Минимумы и максимумы функции. Необходимые условия экстремума.
- 30. Достаточные условия экстремума.
- 31. Асимптоты вертикальные и наклонные
- 32. Выпуклость. Точки перегиба
- 33. Общая схема исследования функции.