10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых.

Бесконечно малые функции Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х0, если  Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0. Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x0 | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде ( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < |х – х0| < δ ) : | f (x) | < ε.  Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х0 отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию. Доказательство. Рассмотрим разность f (x) – А = α(х). Так как  то функция α(х) является бесконечно малой при x → х0.  Свойства бесконечно малых функций Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x0, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x0: 1.  Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x0 справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.