15.Непрерывность сложных и обратных функций
Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функциянепрерывна в точке.
Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например, является элементарной.
Все элементарные функции непрерывны в области определения. Так что всюду непрерывна, так как всюду определена, а функция разрывна в точке .
Дадим теперь классификацию точек разрыва функции. Возможны следующие случаи.
1. Если исуществуют и конечны, но не равны друг другу, то точкуназывают точкой разрыва первого рода. При этом величинуназывают скачком функции в точке.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию
Решение. Эта функция может претерпевать разрыв только в точке , где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.
Найдем левосторонний предел функции при . Cлева от точки, т.е. при, а.
Справа от точки . Тогда. Значение функции в точке, т.е.. Функция в точкеимеет разрыв первого рода. Это видно и на графике функции (рис. 25).
Рис. 25
2. Если в точке , но в точкефункциялибо не определена, либо, то точкаявляется точкой устранимого разрыва.
Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив, то получится непрерывная в точкефункция.
Пример. Функция в точкене определена, но, т.е.. Доопределим функцию в точке 1, положив ее значение в этой точке равным трем. Тогда функциястановится непрерывной в точке.
3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.
Пример. Функция в точкеимеет разрыв второго рода, так каки.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию .
Решение. Функция не определена в точке . Тогда,. И функция в точкеимеет разрыв второго рода.
Замечание. В последних двух примерах мы ввели символическую запись которая означает, что знаменатель такой дроби стремится к нулю, вся дробь стремится к бесконечности, но вовсе не означает, что мы производим деление на 0, что невозможно.
| |||||||||||||||
16. Точки разрыва функции | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределовназываетсяскачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. | |||||||||||||||
Пример 1 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Исследовать функцию на непрерывность. Решение. Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода. | |||||||||||||||
Пример 2 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точкеx = 0. Решение. Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всехx, то искомая функция также непрерывна при всехx за исключением точки x = 0. Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию
которая будет непрерывной при любом действительном x. | |||||||||||||||
Пример 3 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение. Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется. Вычислим односторонние пределеы при x = 0.
Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен
При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва. | |||||||||||||||
Пример 4 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение. Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.
Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).
| |||||||||||||||
Пример 5 | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Найти точки разрыва функции , если таковые существуют. Решение. Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.
Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3. |
- I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- 1. Декартовы координаты на плоскости. Операции над векторами.
- 2. Два определения скалярного произведения.
- 3. Прямая на плоскости и различные формы ее представления.
- 4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- 5. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- 6. Декартовы координаты в пространстве. Задача о делении отрезка в данном отношении.
- 7. Операции над векторами в пространстве.
- 8. Векторное произведение и его свойства
- 9.Смешанное произведение и его свойства
- 11.Расстояние от точки до плоскости.
- 16. Расстояние между прямой и плоскостью, между двумя прямыми
- 17.. Системы координат (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические).
- II. Линейная алгебра}
- 1.Матрица,примеры и операции над матрицей.
- 2. Алгебра матриц (сложение, умножение на число, умножение матриц, линейная комбинация, транспонирование)
- 3. Подстановки, транспозиции и их свойства.
- 4 Определитель матрицы. Примеры применения.
- 5.Свойства определителя
- 6.Свойства определителей
- 1)Обратная матрица
- 2)Теорема об определителе произведения матриц
- 9. Методы обращения матрицы.
- 10. Ранг матрицы и его свойства.
- 11. Системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
- 12. Линейная зависимость векторов. Базис n - мерного пространства
- 13. Системы линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
- 14Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- 15. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- 16.Ортонормированные системы векторов и их свойства
- 17 Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
- 18. Матрица линейного преобразования координат.
- 20. Классификация кривых второго порядка.
- 21. Классификация поверхностей второго порядка.
- III. Дифференциальное исчисление
- 2.Последовательности.
- 3.Предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- 4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- 5. Свойства пределов последовательности, связанные с арифметическими операциями.
- 6.Предел функции. Свойства предела функции в точке
- 7Основные теоремы о пределах. Арифметические операции над пределами.
- 8.Первый замечательный предел
- 9.Второй замечательный предел
- 10. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых.
- 11. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
- Комментарии
- Точки разрыва
- Устранимые точки разрыва
- [Править] Точки разрыва первого и второго рода
- Свойства Локальные
- [Править] Глобальные
- 12. Асимптоты вертикальные и горизонтальные.
- 13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- 14.Предел последовательности комплексных чисел.
- 15.Непрерывность сложных и обратных функций
- 17.Непрерывность функции на отрезке
- 18. Производная функции в точке, ее геометрический смысл. Сделай пожалуста и этот вопрос.
- 19.Свойства производной функции.
- 23. Производные высших порядков
- 24.Теорема Ролля.
- Доказательство
- Следствия
- 1. Теорема Ролля
- 27. Формула Тейлора.
- 28. Применение производной для исследования монотонности функции.
- 29. Минимумы и максимумы функции. Необходимые условия экстремума.
- 30. Достаточные условия экстремума.
- 31. Асимптоты вертикальные и наклонные
- 32. Выпуклость. Точки перегиба
- 33. Общая схема исследования функции.