Matan-otvety_1

15.Непрерывность сложных и обратных функций

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функциянепрерывна в точке.

Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например, является элементарной.

Все элементарные функции непрерывны в области определения. Так что всюду непрерывна, так как всюду определена, а функцияразрывна в точке .

Дадим теперь классификацию точек разрыва функции. Возможны следующие случаи.

1. Если исуществуют и конечны, но не равны друг другу, то точкуназывают точкой разрыва первого рода. При этом величинуназывают скачком функции в точке.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Эта функция может претерпевать разрыв только в точке , где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

Найдем левосторонний предел функции при . Cлева от точки, т.е. при, а.

Справа от точки . Тогда. Значение функции в точке, т.е.. Функция в точкеимеет разрыв первого рода. Это видно и на графике функции (рис. 25).

Рис. 25

2. Если в точке , но в точкефункциялибо не определена, либо, то точкаявляется точкой устранимого разрыва.

Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив, то получится непрерывная в точкефункция.

Пример. Функция в точкене определена, но, т.е.. Доопределим функцию в точке 1, положив ее значение в этой точке равным трем. Тогда функциястановится непрерывной в точке.

3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

Пример. Функция в точкеимеет разрыв второго рода, так каки.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция не определена в точке . Тогда,. И функция в точкеимеет разрыв второго рода.

Замечание. В последних двух примерах мы ввели символическую запись которая означает, что знаменатель такой дроби стремится к нулю, вся дробь стремится к бесконечности, но вовсе не означает, что мы производим деление на 0, что невозможно.

16. Точки разрыва функции

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.


Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел;
Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределовназываетсяскачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность. Решение.

Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.

Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

Пример 2

Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точкеx = 0.

Решение.

Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всехx, то искомая функция также непрерывна при всехx за исключением точки x = 0. Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию

которая будет непрерывной при любом действительном x.

Пример 3

Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение.

Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется. Вычислим односторонние пределеы при x = 0.

Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен

При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

Пример 4

Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение.

Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.

Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).


Рис.2		Рис.3

Пример 5

Найти точки разрыва функции , если таковые существуют.

Решение.

Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.

Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

Содержание