1. Теорема Ролля

Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка,обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка, в которой.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимумаи максимума(рис. 1.1).

Если , функция постоянна, то есть. Но в этом случаедля любого.

В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что. Тогда существует точка, в которой.

Рис. 1.1

Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, чтодляи.

Рассмотрим пределы

для

и

для .

Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке, то они равны между собой. Значит, из одновременностииследует, что, что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения. Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках,или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке междуикасательная к кривой параллельна оси.

Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции(рис. 1.2):

Рис. 1.2

Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

26. Теорема Лагранжа. Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка, в которой.

Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки и, и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

,

откуда:

Рис. 2.1

и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

.

Полученная функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычислениев точкахипоказывает, что. Значит, функцияна отрезкеудовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка, в которой.

Вычислим производную функции :

.

Согласно теореме Ролля в точке производная, то естьи

,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, притеорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

,

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.