6.Предел функции. Свойства предела функции в точке

1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точкиа или в некоторых точках этой окрестности. Функция стремится к пределупри х, стремящемся к, если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число, что для всехх, отличных от и удовлетворяющих неравенству, имеет место неравенство

 .

Если естьпредел функции f(x) при , то пишут:илиf (x) при .

2. Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует– окрестность точки а.

–предел функции при , равный b.

.Обозначение предела

Предел функции обозначается как или через символ предела:.  Всюду ниже предполагается, что пределы функцийсуществуют.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p - действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0. 

Предел логарифмической функции

где основание a > 0. 

Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что для всехx близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.